12 wiskundigen in een dorp

In een dorp wonen 12 wiskundigen die elk ofwel tot de $\sqrt 2$-clan ofwel tot de $\pi$-clan behoren. Bovendien verjaart elke wiskundige in een andere maand en heeft elke wiskundige een oneven aantal vrienden onder de wiskundigen. We spreken af dat als wiskundige A een vriend is van wiskundige B, dan B tevens een vriend is van A.
Elke wiskundige bekijkt op zijn verjaardag tot welke clan de meerderheid van zijn vrienden behoort, en beslist toe te treden tot die clan tot zijn volgende verjaardag.
Bewijs dat de wiskundigen vanaf een bepaald moment niet meer van clan wisselen.