VWO 2019

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In een cilindervormig blik met diameter $d$ zitten twee elkaar rakende ballen opgesloten met stralen $a$ en $b$. Beide ballen raken het bovenvlak en de mantel van de cilinder. De grootste bal raakt ook het ondervlak. Toon aan dat $\sqrt{d}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal de som van alle onvereenvoudigbare breuken waarvan de teller en noemer positieve delers van $1000$ zijn.

Vraag 3 Opgelost!

In driehoek $\Delta ABC$ geldt $\hat{A}=40^ \circ$ en $\hat{B}=20 ^\circ$. Het punt $P$ ligt op de rechte $AC$ zodat $C$ tussen $A$ en $P$ ligt en $|CP|=|AB|-|BC|$. Bepaal $\widehat{CBP}$.

Vraag 4

De ridders van de ronde tafel komen samen. Rond de tafel staan $34$ stoelen, genummerd van $1$ tot $34$. Als iedereen is gaan zitten, blijkt dat tussen elke twee ridders maximaal $r$ plaatsen zijn, die zowel leeg kunnen zijn als bezet door een andere ridder.

(a) Bepaal voor elke $r \le 15$ hoeveel ridders er maximaal aanwezig zijn.

(b) Bepaal voor elke $r\le 15$ hoeveel verzamelingen van bezette stoelen er zijn die aan het gegeven voldoen en waarbij het maximale aantal ridders aanwezig is.