Ballen in blik

Noem het middelpunt van de grote bol \(A\) en van de kleine bol \(B\) (ook is WLOG \(a\) de straal van de grote bol en \(b\) de straal van de kleine bol). \(A\) met \(B\) verbinden levert lijnstuk \(AB\) op met lengte \(a+b\). Laat een rechte \(r\) lopen door het punt \(B\), loodrecht op het grondvlak. Noem dan de loodrechte projectie van het punt \(A\) op \(r\), \(C\). Op deze manier verkijgen we de rechthoekige driehoek \(ABC\). Merk op dat \(|BC|\) = \(a-b\) en het lijnstuk \(|AC|\) = \(d-a-b\). Dit laatste volgt door te kijken naar de loodrechte projectie van $AB$ op het grondvlak van de bol: dit zal een diameter zijn van het grondvlak, en de afstand van de projectie van $A$ tot de rand komt overeen met $a$, en die van de projectie van $B$ tot de rand met $b$, want de bollen raken de mantel.

Volgens de stelling van Pythagoras geldt in driehoek \(ABC\):

\((BC)^2\) + \((AC)^2\) = \((AB)^2\)
\(\iff\)
\( (a-b)^2+(d-a-b)^2= (a+b)^2\)
\(\iff\)
\((a+b)^2-(a-b)^2=(d-a-b)^2\)
\(\iff\)
\( 4ab=(d-a-b)^2\)
\(\iff\)
\(2*\sqrt{ab}= d-a-b\)
(\( -2\sqrt{ab}\) is geen optie want \(d-a-b>0\))
\(\iff\)
\(a+2\sqrt{ab}+b=d\)
\(\iff\)
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=d\)
\(\iff\)
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{d}\)

Q.E.D