Hoek bepalen

Opgave - VWO 2019 dag 1 vraag 3

In driehoek $\Delta ABC$ geldt $\hat{A}=40^ \circ$ en $\hat{B}=20 ^\circ$. Het punt $P$ ligt op de rechte $AC$ zodat $C$ tussen $A$ en $P$ ligt en $|CP|=|AB|-|BC|$. Bepaal $\widehat{CBP}$.

Oplossing

Plaats een punt $D$ op het lijnstuk $[AB]$ zodanig dat $|BD|=|BC|$, en verbind vervolgens het punt $C$ met het punt $D$. Merk op dat driehoeken $BCD$ en $ACD$ gelijkbenig zijn ($|BC|=|BD|$ dus is $\widehat{BCD}=(180°-20°)/2=80°$ en $\widehat{DCA}=120°-\widehat{BCD}=120°-80°=40°=\widehat{DAC})$. Driehoek $PCD$ is ook gelijkbenig, want: $|AD|=|AB|-|BD|=|AB|-|BC|=|CP|=|CD|$. Nu is het duidelijk dat $\widehat{PCD}$ = $\widehat{BCD}+\widehat{PCB}=80°+(180°-120°)=140°$ en omdat driehoek $PCD$ gelijkbenig is volgt er dat $\widehat{PDC}=20°$. Merk nu op dat $\widehat{BDP}=\widehat{CDB}-\widehat{PCD}=60°=\widehat{BCP}$ en dus zijn de hoeken $\widehat{BDP}$ en $\widehat{BCP}$ omtrekshoeken die op dezelfde boog staan in een cirkel. De punten $B, D, C, P$ liggen dus op eenzelfde cirkel (koordenvierhoek) en dus is $\widehat{PDC}=\widehat{CBP}=20°$ (omtrekshoeken op dezelfde boog in een cirkel).

$\widehat{CBP}$ is dus gelijk aan $20°$.