Leuk breuken optellen

Ten eerste moeten we opmerken dat elke onvereenvoudigbare breuk, waarvan de teller en noemer positivieve delers van 1000 ( $5^3*2^3$ in priemfactoren) zijn, te schrijven valt in de vorm: $5^n*2^k$ met $n,k \in$ {$-3,-2,-1,0,1,2,3$}. Indien $n,k\geq 0 $, dan verkrijgen we simpelweg de delers van 1000. Indien $n,k\leq 0$ ( met $n$ en $k$ zijn niet tegelijk 0, want het geval 1 komt al voor), dan verkrijgen we het omgekeerde van elke deler. Als $n>0$ en $k<0$ dan is de breuk ook onvereenvoudigbaar want $2$ en $5$ zijn priemgetallen en hebben dus naast het getal 1 geen gemeenschappelijke deler, en teller en noemer zijn delers van 1000. Als $n<0$ en $k>0$ krijgen we het omgekeerde van de vorige breuk en geldt er dus hetzelfde. Op deze manier komen alle delers aan bod als teller met een deler die onvereenvoudigbaar is als noemer ( deler die geen gemeenschappelijke delers heeft met de teller).

Dus nu we weten dat elke onvereenvoudigbare breuk voorkomt in de vorm $5^n*2^k$ met $n,k \in$ {$-3,-2,-1,0,1,2,3$}, moeten we de som maken van alle mogelijke opties voor $5^n*2^k$ en dus moeten we elke mogelijke $n$ combineren met elke mogelijke $k$. Merk op dat als we de som als volgt schrijven: $(5^{-3}+5^{-2}+5^{-1}+...+5^3)*(2^{-3}+2^{-2}+...+2^3)$ , we elke mogleijke $n$ combineren met elke mogelijke $k$, en de som maken van al deze combinaties.

De som van alle onvereenvoudigbare breuken waarvan de teller en noemer positieve delers van $1000$ zijn is :

$(5^{-3}+5^{-2}+5^{-1}+...+5^3)*(2^{-3}+2^{-2}+...+2^3)$

=
$5^{-3} \cdot \Large \frac {1-5^7}{1-5} \cdot $$ 2^{-3} \cdot \Large\frac {1-2^7}{1-2}$

=
$ \Large\frac{(5^7-1)(2^7-1)}{4000}$

=
$\Large\frac{10^7}{4000}-\frac{2^7}{4000}-\frac{5^7}{4000}+\frac{1}{4000}$

=
$2500-\Large\frac{4}{125}-\frac{625}{32}+\frac{1}{4000}$

=
$2500+0.00025-0.032-19.5-0.03125$

=
$2480,437$