VWO 2016

Vraag 1 Opgelost!

In de vierhoek $ABCD$ is $AD // BC$ en zijn de hoeken $\hat{A}$ en $\hat{D}$ scherpe hoeken. De diagonalen snijden elkaar in $P$ . De omgeschreven cirkels van $\triangle ABP$ en $\triangle CDP$ snijden de rechte $AD$ opnieuw in $S$ en $T$ respectievelijk. Noem M het midden van lijnstuk $ST$. Bewijs dat $\triangle BCM$ gelijkbenig is.

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal het kleinste natuurlijk getal zodanig dat $n^n$ geen deler is van $2016!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot 2016$.

Vraag 3 Opgelost!

In driehoek $\triangle ABC$ liggen $D$ en $E$ op lijnstukken $AB$ en $BC$ respectievelijk. Het punt $F$ is het snijpunt van $DC$ en $EA$. De oppervlaktes van $\triangle BDE, \triangle DEF, \triangle ACF, \triangle CEF, \triangle ADF $ noemen we $x,y,z,u,v$ respectievelijk.

(a) bewijs dat $uv=yz$
(b) bewijs dat de oppervlakte van $\triangle ABC$ gelijk is aan $xz/y$.

Vraag 4 Opgelost!

Bewijs dat er een unieke veeltermfunctie $f$ met positieve gehele coëfficiënten bestaat
zodat $f (1) = 6$ en $f (2) = 2016$.