oppervlaktes vergelijken

Tags:

Opgave - VWO 2016 vraag 3

In driehoek $\triangle ABC$ liggen $D$ en $E$ op lijnstukken $AB$ en $BC$ respectievelijk. Het punt $F$ is het snijpunt van $DC$ en $EA$. De oppervlaktes van $\triangle BDE, \triangle DEF, \triangle ACF, \triangle CEF, \triangle ADF $ noemen we $x,y,z,u,v$ respectievelijk.

(a) bewijs dat $uv=yz$
(b) bewijs dat de oppervlakte van $\triangle ABC$ gelijk is aan $xz/y$.

Oplossing

We noteren $\alpha$ voor de hoek $\angle AFD$.

(a) $u = \frac{1}{2}\cdot \left | EF \right |\cdot \left | CF \right |\cdot \sin \alpha$
$v = \frac{1}{2}\cdot \left | AF \right |\cdot \left | DF \right |\cdot \sin \alpha$
$y = \frac{1}{2}\cdot \left | EF \right |\cdot \left | DF \right |\cdot \sin \left ( \pi -\alpha \right ) = \frac{1}{2}\cdot \left | EF \right |\cdot \left | DF \right |\cdot \sin \alpha $
$z = \frac{1}{2}\cdot \left | AF \right |\cdot \left | CF \right |\cdot \sin \left ( \pi -\alpha \right )= \frac{1}{2}\cdot \left | AF \right |\cdot \left | CF \right |\cdot \sin \alpha $

Nu geldt dat $uv=yz$, aangezien beide leden gelijk zijn aan
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}\cdot \left | AF \right |\cdot \left | CF \right |\cdot \left |DF \right |\cdot \left | EF \right |\cdot \sin ^{2}\alpha $.

(b) Noem de opp. van $\Delta ABC = w$, dan moeten we bewijzen dat $w= \frac{xz}{y}$.
Teken $|BF|$ en verleng deze tot hij snijdt met $|AC|$. Noem het snijpunt $G$.

Nu geldt dat
$\frac{y}{z}= \frac{x}{w}\Leftrightarrow \frac{\left | EF \right |\cdot \left | DF \right |}{\left | AF \right |\cdot \left | CF \right |}= \frac{\left | BD \right |\cdot \left | BE \right |}{\left | BA \right |\cdot \left | BC \right |}$
(merk op dat we $\cdot \sin \alpha $ telkens kunnen schrappen in teller en noemer waardoor we deze weglaten)
We passen de stelling van Menelaos toe op $\Delta ACD$ en $\Delta ACE$ voor de rechte $\left [ BFG \right ]$.
Zo vinden we dat volgende $2$ uitdrukkingen gelijk zijn aan $1$ en bijgevolg gelijk aan elkaar;
$\frac{\left | DB \right |\cdot \left | AG \right |\cdot \left | CF \right |}{\left | AB \right |\cdot \left | CG \right |\cdot \left | FD \right |}= \frac{\left | AG \right |\cdot \left | EF \right |\cdot \left | BC \right |}{\left | CG \right |\cdot \left | AF \right |\cdot \left | BE \right |}$

Dit is echter equivalent met
$ \frac{\left | EF \right |\cdot \left | DF \right |}{\left | AF \right |\cdot \left | CF \right |}= \frac{\left | BD \right |\cdot \left | BE \right |}{\left | BA \right |\cdot \left | BC \right |}$, hetgeen dat nog bewezen moest worden.