Verborgen gelijkbenigheid

Tags:

Opgave - VWO 2016 vraag 1

In de vierhoek $ABCD$ is $AD // BC$ en zijn de hoeken $\hat{A}$ en $\hat{D}$ scherpe hoeken. De diagonalen snijden elkaar in $P$ . De omgeschreven cirkels van $\triangle ABP$ en $\triangle CDP$ snijden de rechte $AD$ opnieuw in $S$ en $T$ respectievelijk. Noem M het midden van lijnstuk $ST$. Bewijs dat $\triangle BCM$ gelijkbenig is.

Oplossing

Wegens de stelling over omtrekshoeken op dezelfde boog, weten we dat ∠ASB=∠APB en ∠DTC=∠DPC.

Nu geldt ook ∠APB=∠DPC $\Rightarrow$ ∠ASB=∠DTC $\Rightarrow ∠BST=∠CTS

Daar BC||ST en ∠BST=∠CTS geldt dat BCTS een gelijkbenige trapezium is, zodat |BS|=|CT|

$|BS|=|CT|$, ∠BST=∠CTS en |SM|=|TM| $\Rightarrow $ △BSM en △CTM zijn congruente driehoeken.

Bijgevolg geldt dat $|BM|=|CM|$, i.e. △BCM is een gelijkbenige driehoek.