delers van 2016!

Eerst merken we op dat $n>44$, aangezien $44^2<2016$ en $2016!$ anders de factoren $n,2n,3n,\dots n\cdot n$ bevat en dus deelbaar is door $n^n$.

Als $n=45$, dan is $n^n=45^{45}=3^{90}\cdot 5^{45}$. $2016!$ bestaat echter uit $\frac{2016}{3}=672$ factoren die een veelvoud zijn van $3$ en is dus deelbaar door $3^{672}$. Op dezelfde manier bevat $2016!=2016\cdot 2015!$ ook $\frac{2015}{5}=403$ factoren die veelvouden zijn van $5$ en is het dus deelbaar door $5^{403}$. Dus is $2016!$ ook deelbaar door $45^{45}$. Analoog voor $n=46$.

We tonen aan dat $n=47$ wel gaat. $47$ is een priemgetal, dus moeten we enkel kijken naar de veelvouden van $47$, aangezien alle overige getallen geen gemeenschappelijke delers (verschillend van $1$) hebben met $47$. We zien dat $47, 2\cdot 47,\dots ,42\cdot 47$ factoren zijn van $2016!$ maar $43\cdot 47=2021$ niet meer. Omdat ook $47^2$ groter is dan $2016$, bevat geen van deze veelvouden de factor $47$ twee keer. Dus is $2016!$ deelbaar door $47^{42}$, maar niet door $47^{43}$ of $47^{47}$.
Q.E.D.