VWO 2015

Vraag 1 Opgelost!

De hoekpunten en middens van de zijden van een vijfhoek worden genummerd van 1
tot 10 zodat de som van de drie getallen op elk van de vijf zijden dezelfde is. Wat is
de kleinst mogelijke waarde van die som?

Vraag 2 Opgelost!

Beschouw twee verschillende punten $X$ en $Y$ in het vlak en zij $P$ een veranderlijk punt
niet op $XY$ . De rechte door $X$, evenwijdig met $PY$ , snijdt de bissectrice van $\angle PY X$ in $A$.
De rechte door $Y$ , evenwijdig met $PX$, snijdt de bissectrice van $\angle PXY $ in $B$. De rechte
$AB$ snijdt $PX$ in $S$ en $PY$ in $T$. Toon aan dat het product $|XS| \cdot |Y T|$ onafhankelijk
is van de keuze van $P$.

Vraag 3 Opgelost!

Turnkring “De dubbele schroef” turnt op verplaatsing. Alle leden van de turnkring
worden willekeurig over twee bussen verdeeld. Alle passagierszitjes zijn hierdoor bezet.
De kans dat de vrienden Leon en Lander in dezelfde bus zitten is gelijk aan $1/2$.

(a) Bewijs dat het aantal leden van de turnkring een kwadraat is.
(b) Bewijs dat het aantal passagierszitjes in elke bus een driehoeksgetal is.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $n \ge 5$ een natuurlijk getal. Bewijs dat de getallen $1, 2, . . . , n$ in twee groepen kunnen
worden verdeeld zodat de som van de getallen uit de ene groep gelijk is aan het product
van de getallen uit de andere groep.