Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › VWO › 2015 › Invariant product

Invariant product

Tags:

Opgave - VWO 2015 vraag 2

Beschouw twee verschillende punten $X$ en $Y$ in het vlak en zij $P$ een veranderlijk punt
niet op $XY$ . De rechte door $X$, evenwijdig met $PY$ , snijdt de bissectrice van $\angle PY X$ in $A$.
De rechte door $Y$ , evenwijdig met $PX$, snijdt de bissectrice van $\angle PXY $ in $B$. De rechte
$AB$ snijdt $PX$ in $S$ en $PY$ in $T$. Toon aan dat het product $|XS| \cdot |Y T|$ onafhankelijk
is van de keuze van $P$.

Oplossing

Ingediend door Anoniem

(1) $\Delta YBT \sim \Delta XSA$ $\left\{\begin{matrix}
\widehat{YBT}=\widehat{XSA}(Overeenkomstige~hoeken~bij~BY \parallel XP (gegeven))\\
\widehat{XAS}=\widehat{BTY}(Overeenkomstige~ hoeken ~bij~ YP~ \parallel AX (gegeven))
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{\left | XS \right |}{\left | YB \right |}=\frac{\left | AX \right |}{\left | YT \right |}$

(2) $\widehat{YBX}=\widehat{BXP}=\widehat{BXY} \Leftrightarrow \left | XY \right |=\left | BY\right |$ (definitie bissectrice, verwisselende binnenhoeken bij $XP \parallel YB$ (gegeven))
Analoog: $\left | AX \right |=\left | XY \right |$

(3) Combineer (1) en (2): $\frac{\left | XS \right |}{\left | XY \right |}=\frac{\left | XY \right |}{\left | YT \right |} \Leftrightarrow \left | XY \right | ^{2}=\left | YT \right | \left | XS \right |$. Hieruit volgt het gevraagde.