Turnkring op verplaatsing

We noemen het aantal zitplaatsen in de 2 bussen $a$ en $b$. Het aantal leden noemen we $n$. Aangezien alle passagierszitjes bezet zijn weten we dat $n = a+b$

(a) De kans dat Leon en Lander in dezelfde bus zitten, is gelijk aan de kans dat leon en Lander allebei in de 1e bus zitten plus de kans dat Leon en Lander in de 2e bus zitten. De kans dat ze allebei in de 1e bus zitten is de kans dat Leon uit alle leden een plaats heeft in de eerste bus ($\frac{a}{n}$) maal de kans dat Lander uit alle leden behalve Leon een plaats heeft in de eerste bus ($\frac{a-1}{n-1}$). Door analoog voor de 2e bus te redeneren komen we uit dat $\frac{a\cdot(a-1)}{n\cdot(n-1)} + \frac{b\cdot(b-1)}{n\cdot(n-1)} = 1/2.$
dus $a^2 - a + b^2 - b = \frac{n^2 - n}{2}$
$ a^2 - a + b^2 - b = \frac{a^2 + b^2 + 2ab - a -b}{2}$
$\frac{a^2 + b^2 -a - b}{2} = ab$
$n = a+b = a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$

(b) Stel WLOG dat $a≥b$. We nemen een natuurlijke $k$ zodat $k^2 = n$. Dan weten we dat $k = a-b$. Dan geldt dat $a+b = k^2$ en $a-b=k$. Dit stelsen oplossen naar $a,b$ vertelt dat $a = \frac{k^2+k}{2} = \frac{k\cdot(k+1)}{2}$ en $b=\frac{k^2-k}{2}=\frac{k\cdot(k-1)}{2}$, waaruit volgt dat a en b driehoeksgetallen zijn.