Vijfhoek nummeren
Opgave - VWO 2015 vraag 1
De hoekpunten en middens van de zijden van een vijfhoek worden genummerd van 1
tot 10 zodat de som van de drie getallen op elk van de vijf zijden dezelfde is. Wat is
de kleinst mogelijke waarde van die som?
- login om te reageren
Oplossing
Zij A, B, C, D en E de hoekpunten van de vijfhoek, aangeduid met de klok mee, en f, g, h, i en j de middens van de zijden, waarbij f zich op AB bevindt, g op BC, h op CD, enz. Noem $x$ de som van elke zijde die we moeten zoeken. We weten nu dat $5x = 2\cdot (A+B+C+D+E) + f+g+h+i+j$
$=A+B+C+D+E+55 $
$\ge (1+2+3+4+5)+55=70,$ i.e. $x \ge 14$.
Dit omdat $A$ tot $E$ $5$ verschillende getallen zijn en dus in een som minstens gelijk aan de som van de kleinste $5$ mogelijke waarden zal resulteren.
Gelijkheid is ook mogelijk wanneer je bvb. $E = 1, C = 2, A = 3, D = 4, B = 5$ en $f = 6, g = 7, h=8, i=9, j = 10$ neemt.
Conclusie: Dat minimum is $14.$