Som=Product

Opgave - VWO 2015 vraag 4

Zij $n \ge 5$ een natuurlijk getal. Bewijs dat de getallen $1, 2, . . . , n$ in twee groepen kunnen
worden verdeeld zodat de som van de getallen uit de ene groep gelijk is aan het product
van de getallen uit de andere groep.

Oplossing

We onderscheiden twee gevallen:

1) $n$ is even. We verdelen de twee groepen op deze manier: de eerste bestaat uit $1, n, \frac {n}{2} -1$ (dit is mogelijk aangezien $n \geq 5$ en dus $\frac {n}{2} -1 > 1$), en de tweede groep uit de getallen $2, 3, ..., \frac {n}{2} -2, \frac {n}{2},..., n-2, n-1$. De som van deze getallen is gelijk aan $\sum^{n-1}_{i=1}{i}-1-(\frac {n}{2} -1)=\frac {n(n-1)}{2}-\frac {n}{2} =\frac{n(n-2)}{2}=1*n*(\frac {n}{2} -1)$, wat het product van de getallen uit de eertse groep is.

2) $n$ is oneven. Schrijf $n=k+1$. $k$ is nu even. We verdelen de groepen op deze manier: de eerste bestaat uit de getallen $1, \frac{k}{2}, k$ (dit is mogelijk aangezien $n \geq 5$ en dus $\frac {n-1}{2} > 1$) en de tweede uit de getallen $2, 3,...,\frac{k}{2}-1,\frac{k}{2}+1,...,n$. De som van deze getallen is gelijk aan $\sum^{k+1}_{i=1}{i}-1-\frac{k}{2}-k=\frac{(k+1)(k+2)-2-k-2k}{2}=\frac{k^2}{2}=1*k*\frac{k}{2}$, wat precies het product van de getallen uit de eerste groep is.

We concluderen dat het altijd mogelijk is als $n\geq 5$.