Som=Product
Opgave - VWO 2015 vraag 4
Zij $n \ge 5$ een natuurlijk getal. Bewijs dat de getallen $1, 2, . . . , n$ in twee groepen kunnen
worden verdeeld zodat de som van de getallen uit de ene groep gelijk is aan het product
van de getallen uit de andere groep.
- login om te reageren
Oplossing
We onderscheiden twee gevallen:
1) $n$ is even. We verdelen de twee groepen op deze manier: de eerste bestaat uit $1, n, \frac {n}{2} -1$ (dit is mogelijk aangezien $n \geq 5$ en dus $\frac {n}{2} -1 > 1$), en de tweede groep uit de getallen $2, 3, ..., \frac {n}{2} -2, \frac {n}{2},..., n-2, n-1$. De som van deze getallen is gelijk aan $\sum^{n-1}_{i=1}{i}-1-(\frac {n}{2} -1)=\frac {n(n-1)}{2}-\frac {n}{2} =\frac{n(n-2)}{2}=1*n*(\frac {n}{2} -1)$, wat het product van de getallen uit de eertse groep is.
2) $n$ is oneven. Schrijf $n=k+1$. $k$ is nu even. We verdelen de groepen op deze manier: de eerste bestaat uit de getallen $1, \frac{k}{2}, k$ (dit is mogelijk aangezien $n \geq 5$ en dus $\frac {n-1}{2} > 1$) en de tweede uit de getallen $2, 3,...,\frac{k}{2}-1,\frac{k}{2}+1,...,n$. De som van deze getallen is gelijk aan $\sum^{k+1}_{i=1}{i}-1-\frac{k}{2}-k=\frac{(k+1)(k+2)-2-k-2k}{2}=\frac{k^2}{2}=1*k*\frac{k}{2}$, wat precies het product van de getallen uit de eerste groep is.
We concluderen dat het altijd mogelijk is als $n\geq 5$.