VWO 2011

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

$a,b,c\in \mathbb{R_o}$
Er geldt dat de parabool met vgl. $ax^2+bx+c$ boven de rechte $y'=cx$ ligt.
Bewijs dat $y"=cx^2-bx+a$ boven $f(x)=cx-b$ ligt.

Vraag 2 Opgelost!

Van een afgeknotte kegel $K$ is de oppervlakte van het grondvlak $4*$ opp. bovenvlak.
In $K$ is een bol $B$ ingeschreven die aan boven-,ondervlak en mantel raakt dus.
Bepaal $\frac{volume B}{volume K}$

Vraag 3 Opgelost!

In een klas zitten $18$ leerlingen waaraan wordt gevraagd hoeveel personen resp. zelfde voornaam als achternaam hebben,
men kreeg de antwoorden $0$ t.e.m. $7$ elk minimum $1$ keer te horen,
bewijs dat er $2$ leerlingen zijn met volledige zelfde naam.
ps: dit geldt ook in klassen met max. $23$ leerlingen.

Vraag 4 Opgelost!

In een driehoek $ABC$ en punten $D,E$ op $[BC],[AB]$ resp. is $F$ het snijpunt van $CE$ met $AD.$
Er geldt dat $|CD|=a,|BD|=b,|DF|=c,|AF|=d$ en bepaal hiermee in functie van die 4 letters de verhouding $\frac{|BE|}{|AE|}.$