als je menelaos kent..

Tags:

Opgave - VWO 2011 dag 1 vraag 4

In een driehoek $ABC$ en punten $D,E$ op $[BC],[AB]$ resp. is $F$ het snijpunt van $CE$ met $AD.$
Er geldt dat $|CD|=a,|BD|=b,|DF|=c,|AF|=d$ en bepaal hiermee in functie van die 4 letters de verhouding $\frac{|BE|}{|AE|}.$

Oplossing

Stel de oppervlakte van de totale driehoek $A_{\bigtriangleup ABC}=x$.
De oppervlakte $A_{\bigtriangleup ABD}=\frac{b}{b+a}x$, want de hoogte van de driehoeken zijn gelijk en de basissen verhouden zich volgens $\frac{b}{b+a}$.
Zo is ook $A_{\bigtriangleup ACD}=\frac{a}{b+a}x$, en analoog opsplitsen van $\bigtriangleup ACD$ geeft $A_{\bigtriangleup ACF}=\frac{a}{b+a}*\frac{d}{d+c}x$ en $A_{\bigtriangleup DCF}=\frac{a}{b+a}*\frac{c}{d+c}x$.

$A_{\bigtriangleup AFC}$ en $A_{\bigtriangleup BFC}$ verhouden zich als $|AE|$ tot $|BE|$ omdat hun hoogtes op $AE$ gelijk zijn, dus:
$\frac{|BE|}{|AE|}=\frac{A_{\bigtriangleup BFC}}{A_{\bigtriangleup AFC}}=\frac { [BDF]+[CDF]}{[ACF]}=\frac{\frac{b}{b+a}*\frac{c}{d+c}+\frac{a}{b+a}*\frac c{d+c}}{\frac{a}{b+a}*\frac{d}{d+c}}=\frac {c(a+b)}{ad}$

Teken een rechte door $B$ evenwijdig aan $EC$ en benoem het snijpunt met $AD$ als $G$.
Het is duidelijk dat $\triangle BDG$ gelijkvormig is met $\triangle CDF$. Hieruit verkrijgen we dat $DG=\frac{bc}{a}$.
Als we nu Thales toepassen vinden we $\frac{|BE|}{|AE|}=\frac{c+\frac{bc}{a}}{d}=\frac{c(a+b)}{ad}$ en we zijn er al.

Merk op dat dit zelfs nog korter kan: Aangezien $E,F,C$ op één rechte liggen, geldt volgens de stelling van Menelaos in $\triangle BDA$:
$\frac{|AE|}{|BE|}\frac{|BC|}{|DC|}\frac{|DF|}{|AF|}=1$
Dus $\frac{|BE|}{|AE|}=\frac{c(a+b)}{ad}$