gelijke namen
Opgave - VWO 2011 dag 1 vraag 3
In een klas zitten $18$ leerlingen waaraan wordt gevraagd hoeveel personen resp. zelfde voornaam als achternaam hebben,
men kreeg de antwoorden $0$ t.e.m. $7$ elk minimum $1$ keer te horen,
bewijs dat er $2$ leerlingen zijn met volledige zelfde naam.
ps: dit geldt ook in klassen met max. $23$ leerlingen.
- login om te reageren
Oplossing
Om de gelijke namen te tellen, moeten we bij ieder antwoord $1$ bijtellen, om met de spreker rekening te houden. De antwoorden worden dus: $1 ,2,3,4,5,6,7,8 $
De som van deze getallen is 36 -> 36/2=18 voor- en achternamen.
Aangezien er 18 leerlingen waren, was ieder getal van $0$ tot $7$ maar met $1$ naam geassocieerd.
Als er acht mensen met dezelfde voornaam zijn, moeten er minstens acht verschillende achternamen zijn als er geen twee mensen met dezelfde voor- en achternaam zijn. Er zijn nog maar zeven verschillende namen, dus zijn er minstens twee mensen met dezelfde voor-en achternaam. (duivenhokprincipe)
Opm: in de bovenstaande redenering heb ik gezegd dat acht mensen dezelfde voornaam hebben, terwijl men analoog acht mensen met dezelfde achternaam kunnen beschouwen.