volumeverhouding

Opgave - VWO 2011 dag 1 vraag 2

Van een afgeknotte kegel $K$ is de oppervlakte van het grondvlak $4*$ opp. bovenvlak.
In $K$ is een bol $B$ ingeschreven die aan boven-,ondervlak en mantel raakt dus.
Bepaal $\frac{volume B}{volume K}$

Oplossing

Ziehier een analytische oplossing voor het probleem:

Beschouw de afgeknotte kegel als een omwentelingslichaam in een cartesiaans assenstelsel, dat ontstaat door de dalende rechte k te wentelen omheen de x-as, en dit over het interval [0,2r]. Tussen grond- en bovenvlak moet immers precies een bol met straal r passen, én raken.

De oppervlakte van het grondvlak van de kegel is 4 keer de oppervlakte van het bovenvlak. De straal van het grondvlak moet dus 2 keer zo groot zijn. Kiezen we als straal van het bovenvlak 1, dan is de straal van het grondvlak 2.

Met dit in het achterhoofd stellen we met de gekende formule de vergelijking op van die rechte k, door de punten (0,2) en iets verder, (2r,1). De vergelijking wordt dan in algemene vorm k  x+ 2ry - 4r. Of in normaalvorm: k  (|x+ 2ry - 4r|)/√(4r²+1).

Opdat de bol ook aan de mantel van de afgeknotte kegel zou raken, moet de aftand tussen het middelpunt van de bol M(r,0) en de rechte k precies gelijk zijn aan r.
d(M,k)=r  ⇔ (|r+ 2r0 - 4r|)/√(4r²+1)=r ⇔3r=r√(4r²+1) ⇔ 4r² = 9-1 ⇔ r = √2.

En met deze straal kan men het volume van de kegel en de bol berekenen:
VB $= \frac{4}{3} \cdot \pi \sqrt{2}^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi . 2\sqrt{2}.$
VK $ = \frac{1}{3} \cdot \pi 2\sqrt{2}.(2^2+2.1+1)$

dus na schrappen geeft dit: volume bol / volume kegel = $\frac{4}{7}$ .

Zonder verlies van algemeenheid kunnen we de straal van het grondvlak 2 geven. (verhouding van volumes blijft zelfde).
Hieruit volgt dat de straal van het bovenvlak 1 is.
Dit is een doorsnede van de kegel met bol in.

Via de figuur leiden we af dat:
$\Delta A_bA_gM$ rechthoekig is met rechte hoek m, want $MA_g$ en $MA_b$ zijn de bissectrices van de hoeken tussen $M_bM_g$ en $MA$, dus helft van $180$ graden.
Hieruit volgt (2x Pytaghoras) $|A_bA_g|^2=2r^2+5.$
Ook weten we dat $|A_bA_g| = 2 + 1 = 3$, want $\Delta AM_gA_g$ is gelijkbenig (raaklijnen) en analoog voor $\Delta AM_bA_b$.

Hieruit volgt de vergelijking: $3^2=2r^2+5$ en dus $r=\sqrt{2}$

Nu inhoud formules (hoogte= 4r):

$V_{\text{bol}} = \frac{4}{3}\pi2\sqrt{2}$
$V_{\text{grote kegel}} = \frac{1}{3}16\pi\sqrt{2}$
$V_{\text{afgeknotte deel van de kegel}} = \frac{1}{3}\pi 2\sqrt{2}$
$V_{\text{afgeknotte kegel}} = \frac{1}{3}16\pi\sqrt{2}-\frac{1}{3}\pi2\sqrt{2} =\frac{1}{3}14\pi\sqrt{2}$

$\frac{V_{\text{bol}}}{V_{\text{kegel}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi2\sqrt{2}}{\frac{1}{3}14\pi\sqrt{2}} = \frac{4}{7}$

Wat dus de uitkomst is.