volumeverhouding

Tags:

Opgave - VWO 2011 dag 1 vraag 2

Van een afgeknotte kegel $K$ is de oppervlakte van het grondvlak $4*$ opp. bovenvlak.
In $K$ is een bol $B$ ingeschreven die aan boven-,ondervlak en mantel raakt dus.
Bepaal $\frac{volume B}{volume K}$

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door Anoniem

Zonder verlies van algemeenheid kunnen we de straal van het grondvlak 2 geven. (verhouding van volumes blijft zelfde).
Hieruit volgt dat de straal van het bovenvlak 1 is.
Dit is een doorsnede van de kegel met bol in.

Via de figuur leiden we af dat:
$\Delta A_bA_gM$ rechthoekig is met rechte hoek m, want $MA_g$ en $MA_b$ zijn de bissectrices van de hoeken tussen $M_bM_g$ en $MA$ , dus helft van $180$ graden.
Hieruit volgt (2x Pytaghoras) $|A_bA_g|^2=2r^2+5.$
Ook weten we dat $|A_bA_g| = 2 + 1 = 3$ , want $\Delta AM_gA_g$ is gelijkbenig (raaklijnen) en analoog voor $\Delta AM_bA_b$ .

Hieruit volgt de vergelijking: $3^2=2r^2+5$ en dus $r=\sqrt{2}$

Nu inhoud formules (hoogte= 4r):

$V_{\text{bol}} = \frac{4}{3}\pi2\sqrt{2}$
$V_{\text{grote kegel}} = \frac{1}{3}16\pi\sqrt{2}$
$V_{\text{afgeknotte deel van de kegel}} = \frac{1}{3}\pi 2\sqrt{2}$
$V_{\text{afgeknotte kegel}} = \frac{1}{3}16\pi\sqrt{2}-\frac{1}{3}\pi2\sqrt{2} =\frac{1}{3}14\pi\sqrt{2}$