parabolisch beginnen

Een functie $g$ ligt boven een functie $h$ op domein $\mathbb{R} \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R} \colon g(x)-h(x) >0$.

Wat te bewijzen is, is dus equivalent met:
$\forall x \in \mathbb{R} \colon ax^2+(b-c)x + c > 0 \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R} \colon cx^2+(-b-c)x + (a+b) > 0$.

De discriminant is voor beide ongelijkheden gelijk aan $d=(b-c)^2-4ac$
Zodus:
$\forall x \in \mathbb{R} \colon ax^2+(b-c)x + c > 0 \Leftrightarrow a>0 \wedge d<0$
en
$\forall x \in \mathbb{R} \colon cx^2+(-b-c)x + (a+b) >0 \Leftrightarrow c>0 \wedge d<0$

Wat te bewijzen is, is dus equivalent met: $a>0 \wedge d<0 \Rightarrow c > 0$ (*).
Nu geldt $d<0 \Rightarrow (b-c)^2-4ac <0 \Rightarrow ac >0$ en dus is (*) altijd een ware uitspraak.