VWO 2007

Vraag 1 Opgelost!

De getallen $1,2,...$ worden in een driehoek geplaatst als volgt: $$\begin{matrix}1&&&\\ 2&3&& \\ 4&5&6& \\ 7&8&9&10 \\ \ldots&&&\end{matrix}$$

Wat is de som van de getallen op de $n$-de rij?

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven een halve cirkel $C$ met middelpunt $O$ en middellijn $AB$. Zij $Z$ een willekeurig punt binnenin dat halve cirkeloppervlak, en zij $X=OZ\cap C$, $Y=AZ\cap C$.

Als $P$ het snijpunt is van $BY$ met de raaklijn in $X$ aan de halve cirkel, toon dan aan dat $PZ \perp BX$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ABCD$ een vierkant met zijde $10$, met $M$ het midden van de zijde $AB$ en $N$ het midden van de zijde $BC$. Beschouw de cirkelbogen $C(D,10)$, $C(M,5)$ en $C(N,5)$ (waarbij $C(A,b)$ de cirkelboog met centrum $A$ en straal $b$ noteert). Als we de drie snijpunten van de cirkelbogen die niet op de rand van het vierkant liggen respectievelijk $R, S, T$ noemen, bepaal dan de oppervlakte van $\triangle RST$.

Vraag 4 Opgelost!

Als $f,g\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ functies zijn die voldoen aan $f(x+g(y)) = 2x+y$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$, bepaal dan $g(x+f(y))$.