loodrecht
Opgave - VWO 2007 vraag 2
Gegeven een halve cirkel $C$ met middelpunt $O$ en middellijn $AB$. Zij $Z$ een willekeurig punt binnenin dat halve cirkeloppervlak, en zij $X=OZ\cap C$, $Y=AZ\cap C$.
Als $P$ het snijpunt is van $BY$ met de raaklijn in $X$ aan de halve cirkel, toon dan aan dat $PZ \perp BX$.
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat XPYZ een koordenvierhoek is ($\widehat{PXZ} = 90^\circ$ want PX raakt aan de cirkel , en $\widehat{PYZ} = 90^\circ$ want $Y$ ligt op de halfcirkel). Zij $Q$ het snijpunt van $BX$ en $PZ$. Omdat $XPYZ$ een convexe koordenvierhoek is, is $\widehat{XPQ} = \widehat{XPZ} = \widehat{XYZ} = \widehat{XYA}$. Omdat $AXYB$ een convexe koordenvierhoek is, is $\widehat{XYA} = \widehat{XBA}$, dus $\widehat{XPQ} = \widehat{XBA}$. Anderzijds is de raakomtrekshoek $\widehat{PXQ} = \widehat{PXB}$ gelijk aan $\widehat{XAB}$. Er volgt dat $$\widehat{XPQ}+\widehat{PXQ} = \widehat{XAB}+\widehat{XBA} = 180^\circ-\widehat{AXB} = 90^\circ,$$aangezien $X$ op de halfcirkel met diameter $[AB]$ ligt. Hieruit volgt dat $\widehat{PQX} = 90^\circ$, zoals gewenst.