functievergelijking
Opgave - VWO 2007 vraag 4
Als $f,g\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ functies zijn die voldoen aan $f(x+g(y)) = 2x+y$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$, bepaal dan $g(x+f(y))$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Antwoord:
$\forall x,y \in \mathbb{R}\colon g\left ( x+f\left ( y \right ) \right ) = \frac{x}{2}+y$.
Bewijs.
$\forall x,y \in \mathbb{R} \colon f\left ( x + g \left ( y \right ) \right ) = 2x + y$ (*)
Dus ook voor $x=0$, en dus $\forall y \in \mathbb{R} \colon f\left (g \left ( y \right ) \right ) = y$.
Hieruit volgt dat $g$ injectief is, en dat de inverse van $g$ wordt gegeven door de restrictie van $f$ tot $g\left ( \mathbb{R} \right )$.
(*) geldt ook voor y=a dus
$\forall x' \in \mathbb{R}\colon f\left ( x' + g \left ( a \right ) \right ) = 2x' + a$.
$x$ verschuiven over $g \left ( a \right )$ verandert het domein niet, dus volgt hieruit voor $x=x'+ g \left ( a \right )$
$\forall x \in \mathbb{R}\colon f\left ( x \right ) = 2(x-g \left ( a \right )) + a = 2x + c$ (**) met $c \in \mathbb{R}$ constant.
Invullen in (*) levert
$\forall x,y \in \mathbb{R}\colon 2 \left ( x + g \left ( y \right ) \right ) +c = 2x + y$
$\Rightarrow \forall y \in \mathbb{R}\colon g\left ( y \right ) = \frac{y}{2} - \frac{c}{2}$ (***).
Combineren van (**) en (***) levert
$\forall x,y \in \mathbb{R}\colon g\left ( x+f\left ( y \right ) \right ) = \frac{x+2y+c}{2}-\frac{c}{2}= \frac{x}{2}+y$.
Vul x = -g(y) in in de 1e vergelijking:
f(-g(y) + g(y)) = f(0) = -2g(y) + y
<=> g(y) = y/2 - f(0)/2
In de oorspronkelijke vergelijking krijgen we dan:
f(x + g(y)) = f(x + y/2 - f(0)/2) = 2x + y
Neem nu y = f(0) in de 1e vergelijking:
f(x + f(0)/2 - f(0)/2) = f(x) = 2x + f(0)
Bekijk nu g(x + f(y)) met de vorige conclusies:
g(x + f(y)) = g(x + 2y + f(0)) = x/2 + y + f(0)/2 - f(0)/2 = x/2 + y