oppervlakte
Opgave - VWO 2007 vraag 3
Zij $ABCD$ een vierkant met zijde $10$, met $M$ het midden van de zijde $AB$ en $N$ het midden van de zijde $BC$. Beschouw de cirkelbogen $C(D,10)$, $C(M,5)$ en $C(N,5)$ (waarbij $C(A,b)$ de cirkelboog met centrum $A$ en straal $b$ noteert). Als we de drie snijpunten van de cirkelbogen die niet op de rand van het vierkant liggen respectievelijk $R, S, T$ noemen, bepaal dan de oppervlakte van $\triangle RST$.
- login om te reageren
Oplossing
We gaan eens analytisch te werk. Even alle gegevens noteren:
$A(0,0);B(0,10);C(10,10);D(10,0);M(0,5)$ en $N(5,10)$
$C(D,10)=C_1\leftrightarrow (x-10)^2+y^2=100$
$C(M,5)=C_2\leftrightarrow x^2+(y-5)^2=25$
$C(N,5)=C_3\leftrightarrow (x-5)^2+(y-10)^2=25$
Zij $R$ het snijpunt (in het vierkant) van $C_1$ en $C_2$, dan kunnen we een stelsel van twee vergelijkingen oplossen en $R(4,8)$. Zij $T$ het snijpunt van $C_1$ en $C_3$, dan kunnen we analoog aan $R$ een stelsel oplossen, zodat we $T(2,6)$ vinden. Het coördinaat van $S(5,5)$ is triviaal. Zo vinden we dus ook
$RS=\sqrt{10}$
$RT=2\sqrt{2}$
$ST=\sqrt{10}$
Via de formule van Heroon bekomen we dan dat de oppervlakte gelijk is aan $4$.