VWO 2005

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal voor elke $n\in\mathbb{N}$ de rest van $\frac{(7n)!}{7^n (n!)}$ bij deling door 7.

Vraag 2 Opgelost!

We hebben een doos van $1\times 10\times 10$ meter binnenafmetingen, en een hoop bollen met diameter $1 m$ . Je kunt triviaal $100$ zo'n ballen in die doos steken. Leg uit hoe je er $105$ , en zelfs $106$ kan insteken.

Vraag 3 Opgelost!

Een getal is goed als het kan geschreven worden als de som van 2 verschillende strikt positieve kwadraten. Een getal is beter als dit op minstens 2 manieren kan, en best als dit op minstens 4 manieren kan.
(a) Bewijs dat het product van 2 goede getallen goed is.
(b) Bewijs dat $5$ goed is, $2005$ beter, $2005^2$ best.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle $n\in\mathbb{N}$ waarvoor $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}\in\mathbb{N}$.