goede getallen
Opgave - VWO 2005 vraag 3
Een getal is goed als het kan geschreven worden als de som van 2 verschillende strikt positieve kwadraten. Een getal is beter als dit op minstens 2 manieren kan, en best als dit op minstens 4 manieren kan.
(a) Bewijs dat het product van 2 goede getallen goed is.
(b) Bewijs dat $5$ goed is, $2005$ beter, $2005^2$ best.
- login om te reageren
Oplossing
(a) We hebben enerzijds $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$ en anderzijds $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$$ waarbij niet in beide gevallen een nul kan optreden.
(b) Aangezien $5=2^2+1^2$ en $401=20^2+1^2$, volgt nu uit deeltje (a) dat $2005=(41^2+18^2)=(22^2+39^2)$, en vervolgens ook dat
$$\begin{array}{ll}2005^2 &= (22\cdot39+22\cdot39)^2 + (39\cdot39-22\cdot22)^2 \\ &= (22\cdot41+39\cdot18)^2 + (39\cdot41-18\cdot22)^2 \\ &=
(39\cdot41+18\cdot22)^2 + (22\cdot41-39\cdot18)^2 \\ &= (18\cdot41+18\cdot41)^2 + (41\cdot41-18\cdot18)^2\end{array}$$
waarvan men makkelijk nagaat dat deze 4 oplossingen verschillend en groter 0 zijn.