Ballen in een doos
Opgave - VWO 2005 vraag 2
We hebben een doos van $1\times 10\times 10$ meter binnenafmetingen, en een hoop bollen met diameter $1 m$ . Je kunt triviaal $100$ zo'n ballen in die doos steken. Leg uit hoe je er $105$ , en zelfs $106$ kan insteken.
- login om te reageren
Oplossing
constructie voor $105$
Je plaatst tien ballen op een rij tegen een zijvlak van een doos. Nu plaats je een nieuwe rij van negen ballen zo naast de eerste rij, dat elk van deze negen ballen raakt aan twee naburige ballen van de eerste rij. De volgende rij bevat terug acht ballen, die raken aan twee naburige ballen van de vorige rij, plus twee ballen aan beide zijkanten, die raken aan één cirkel van de vorige rij en tegen een zijvlak van de doos liggen.
I.e. afwisselend leg je een laag van $10$ ballen/ $9$ ballen.
De middelpunten van $3$ paarsgewijs rakende cirkels met gelijke straal $0.5$, vormen een gelijkzijdige driehoek met zijdelengten $1$.
De hoogte van deze driehoek gelijk is aan $\frac{\sqrt 3}2$.
Dit betekent dat de hoogte van de constructie binnen het vierkant na laag $1$ telkens per laag met $\frac{\sqrt 3}2$ vergroot.
Daar $\frac 9 {\sqrt{3}/2 }= 6 \sqrt{3} \in [10,11[$, kunnen we dus nog $10$ extra lagen bouwen.
Dit heeft een constructie met $6 \cdot 10+5 \cdot 9=105$ ballen.
constructie voor $106$
Plaats eerst drie rijen van 10 ballen.
In de resterende $7$ m is er voldoende plaats om $8$ rijen (afwisselend bestaande uit $9$ en $10$ ballen) te plaatsen, want
$\frac{7}{\frac{\sqrt 3 }{2} }= 14 \sqrt{3}/3 $> $8$, want $\sqrt{3}$ > 24/14 = 12/7, (want (12/7)² = 144/49 < 147/49 = 3). Het totale aantal wordt dus 3 . 10 + 4 . 10 + 4 . 9 = 106.