diophantische vergelijking
Opgave - VWO 2005 vraag 4
Bepaal alle $n\in\mathbb{N}$ waarvoor $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}\in\mathbb{N}$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Aangezien $$\sqrt{n}-\sqrt{n+2005}=\frac{n-(n+2005)}{\sqrt n+\sqrt{n+2005}}\in\mathbb Q$$ ook de som en het verschil $2\sqrt n,2\sqrt{n+2005}\in\mathbb Q$ waaruit we kunnen besluiten dat zowel $n$ als $n+2005$ volkomen kwadraten moeten zijn.
In de verzameling $\{0,1,4,9,16,25,\ldots\}$ verschillen term $m$ en $m+1$ met $2m+1$, dus op een bepaald moment met 2005, wat ons de oplossing $n=1002^2$ geeft. Aangezien de priemontbinding van $2005=5\cdot401$ is, is de enige andere mogelijkheid om twee volkomen kwadraten met verschil 2005 te vinden $n=198^2$ en $n+397+399+401+403+405=203^2$.
Zowel $n$ als $n+2005$ moeten een volkomen kwadraat zijn, daar $\sqrt{n+2015}-\sqrt{n}$ ook rationaal is (zoals vermeld door Psycho) en de vierkantswortel van een natuurlijk getal rationaal is asa dat getal een volkomen kwadraat is.
Stel $a=\sqrt{n}$, dan vinden we $n+2005=(a+b)^2$ met $2005=2ab+b^2=b(2a+b)$. Nu moeten we alle natuurlijke getallen $(a,b)$ vinden waarvoor deze gelijkheid geldt. $b$ is een deler van 2005, dus $b\in \{1,5,401,2005\}$. Zo vinden we de koppels $(1002,1)$ en $(198,5)$ ($401^2$ en $2005^2$ zijn groter dan 2005 en dus zijn 401 en 2005 geen oplossing). Zo vinden we $n\in\{1002^2,198^2\}$.