Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › VWO › 2005 › diophantische vergelijking

diophantische vergelijking

Tags:

Opgave - VWO 2005 vraag 4

Bepaal alle $n\in\mathbb{N}$ waarvoor $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}\in\mathbb{N}$.

Oplossing

Ingediend door Psycho

Aangezien $\displaystyle{\sqrt n-\sqrt{n+2005}=\frac{n-(n+2005)}{\sqrt n+\sqrt{n+2005}}\in\mathbb Q$ ook de som en het verschil $2\sqrt n,2\sqrt{n+2005}\in\mathbb Q$ waaruit we kunnen besluiten dat zowel $n$ als $n+2005$ volkomen kwadraten moeten zijn.
In de verzameling $\{0,1,4,9,16,25,\ldots\}$ verschillen term $m$ en $m+1$ met $2m+1$, dus op een bepaald moment met 2005, wat ons de oplossing $n=1002^2$ geeft. Aangezien de priemontbinding van $2005=5\cdot401$ is, is de enige andere mogelijkheid om twee volkomen kwadraten met verschil 2005 te vinden $n=198^2$ en $n+397+399+401+403+405=203^2$.