VWO 2004

Vraag 1 Opgelost!

Beschouw een driehoek met zijden van lengtes $501m$, $668m$, $835m$. Hoeveel lijnen zijn er die zowel de oppervlakte als de omtrek van deze driehoek in 2 gelijke helften delen?

Vraag 2 Opgelost!

Men plaatst $p$ genummerde ballen in 2 zakken, met $p$ een priemgetal. Als men de bal met nummer 170 van de linkerzak naar de rechterzak overplaatst, stijgt het gemiddelde in beide zakken met 1. Als de som van de nummers op alle ballen 2004 is, hoeveel ballen waren er dan in beide zakken, voor we die bal overplaatsten?

Vraag 3 Opgelost!

Een auto-prijskaartje met een viercijferig natuurlijk getal op wordt door een listige koper omgedraaid. De prijs stond erop in digitale cijfers, zodat er na het omdraaien een leesbaar getal komt (bijvoorbeeld: $16$ wordt $91$). Door deze listige zet wordt de auto $1626$ goedkoper. Hoeveel kostte de auto eerst?

Vraag 4

Iedere cel uit een bijenkorf wordt geconstrueerd door een regelmatig zeszijdig prisma, open langs onder en langsboven afgesloten door een regelmatige drijzijdige piramide-mantel. De ribben van deze piramide zijn verbonden met de 3 uitstekende ribben van het prisma, en de top T ligt op de loodrechte door het centrum $O$ van de basis van het prisma.
Als $s$ de lengte van de basis is, $h$ de hoogte van de cel en $\theta$ de hoek tussen $TO$ en $TV$, bewijs dan dat:

(a) het oppervlak van de cel bestaat uit zes congruente trapezia en drie congruente ruiten,
(b) de totale oppervlakte van de cel wordt gegeven door de formule
$$6sh-\frac92\frac{s^2}{\tan\theta}+\frac{3s^2\sqrt{3}} {2\sin\theta}.$$