driehoek

Het is duidelijk dat de rechte de driehoek moet snijden. Hier zullen we in de rest van het bewijs ook van uitgaan.

Merk op dat $501=3*167$, $668=4*167$ en $835=5*167$. De halve omtrek is gelijk aan $1002=6*167$.

Stel nu even dat er zo een rechte bestaat in een driehoek $\Delta ABC$ met oppervlakte $S$ en omtrek $O$ en met zijden $a,b,c$ volgens de gebruikelijke regels die snijdt in zijden $a$ en $b$, op een afstand $x$ en $y$ van $C$. Dan moet gelden dat $2(x+y)=O$ en $2xy sin(\widehat{C})=S$. Na uitwerking wordt dit $x+y=\frac{a+b+c}{2}$ en $xy=\frac{ab}{2}$.

Dit passen we toe op onze driehoek. We maken een gevalsonderscheid:

1) De rechte gaat door de zijden met lengten $501$ en $668$. Na uitwerking verkrijgen we dat de oplossingen voor $x$ en $y$ gelijk zijn aan $167*(3 \pm \sqrt{3})$. Maar aangezien $3+\sqrt{3}>4$, zal $167*(3+\sqrt{3})>668=167*4$. Dus in dit geval zijn er geen geldige oplossingen.

2) De rechte gaat door de zijden met lengten $501$ en $835$. Na uitwerking verkrijgen we dat de oplossingen gelijk zijn aan $167*(3 \pm \frac{\sqrt{6}}{2})$. Aangezien $835=5*167>167*(3 + \frac{\sqrt{6}}{2})>167*3=501$, moet $y=167*(3 + \frac{\sqrt{6}}{2})$ op de zijde met lengte $835$ liggen. Verder geldt dat $0$<$x=167*(3 - \frac{\sqrt{6}}{2})<167*3=501$, dus bestaat ook $x$ op de zijde met lengte $501$. Dus in dit geval is er één rechte.

3) De rechte gaat door de zijden met lengten $668$ en $835$. Aangezien $1002^2-2*668*835$<$0$, heeft deze vergelijking geen reële oplossingen.

Er is dus één zo'n rechte. Q.E.D.