VWO 1998

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat er een drietal natuurlijke getallen $a,b,c$ bestaan zodat $a+b+c=1998$, waarvan de grootste gemene deler maximaal is, en waarvoor geldt dat $0 < a < b \le c < 2a$. Bepaal deze getallen. Zijn ze uniek?

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven een kubus met zijdelengte 1, met bovenvlak $a_1b_1c_1d_1$ en ondervlak $abcd$. Zij $e$ het midden van de ribbe $[bc]$ en zij $m$ het middelpunt van het zijvlak $cdd_1c_1$. Bepaal het doorsnijdingsoppervlak van de kubus met het vlak door de punten $a,e,m$.

Vraag 3 Opgelost!

Een magisch $3\times3$ vierkant is een $3\times3$ matrix die alle getallen van $1$ tot $9$ eenmaal bevat, en waarbij de som van elke rij, kolom of diagonaal gelijk is. Bepaal alle dergelijke magische $3\times3$ vierkanten (op rotatie & spiegeling na).

Vraag 4 Opgelost!

Zie de biljarttafel op de figuur. De witte bal op $p_1$ moet de rode bal op $p_2$ raken en daarbij de 3 banden raken. Bepaal de minimale afstand die de bal moet afleggen.