drietal
Opgave - VWO 1998 vraag 1
Bewijs dat er een drietal natuurlijke getallen $a,b,c$ bestaan zodat $a+b+c=1998$, waarvan de grootste gemene deler maximaal is, en waarvoor geldt dat $0 < a < b \le c < 2a$. Bepaal deze getallen. Zijn ze uniek?
- login om te reageren
Oplossing
Noem $ggd(a,b,c)=k$. Het is duidelijk dat $k\mid 1998$. We kunnen dus systematisch de delers van $1998$ afgaan, en de grootste zoeken die voldoet. Dit zoekwerk kan veel vergemakkelijkt worden met de gegeven ongelijkheid. Hiermee kunnen we hetvolgende afleiden:
$3a < a+b+c < 5a$ en $a+b+c=1998$ zodat $400 < a <666$
Na even proberen komen we uit dat iedere $k>111$ niet gaat. Beschouw nu $k=111$, $x=\frac{a}{111}$ en $y$ en $z$ op analoge wijze gedefinieerd. Dan is
$x+y+z=18$ en $4\le x \le6$ Na even proberen zien we dat de oplossingen voor $(a,b,c)$ de volgende zijn: $(444,777,777)$ , $(555,666,777)$ . Dit zijn dus ook meteen de enige, omdat dit de grootste gemene deler is die eraan voldoet.