Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › VWO › 1998 › doorsnijdingsoppervlak

doorsnijdingsoppervlak

Tags:

Opgave - VWO 1998 vraag 2

Gegeven een kubus met zijdelengte 1, met bovenvlak $a_1b_1c_1d_1$ en ondervlak $abcd$. Zij $e$ het midden van de ribbe $[bc]$ en zij $m$ het middelpunt van het zijvlak $cdd_1c_1$. Bepaal het doorsnijdingsoppervlak van de kubus met het vlak door de punten $a,e,m$.

Oplossing

Ingediend door Juan


constructie: zie tekening.

gevraagde oppervlakte= $A_{\triangle sat}-A_{\triangle sev}$ (merk ook de gelijkvormigheid op met factor $\frac12$ )
$\triangle sat$

    $|at|=\frac{\sqrt{13}}{3}$
    $|as|=\sqrt{5}$
    $|st|=\frac{2\sqrt{10}}{3}$

zodat via de formule van Heroon $A_{\triangle sat}=$
$\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{13}}{6}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}+\dfrac{\sqrt5}{2}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{6}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}+\dfrac{\sqrt5}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{13}}{6}-\dfrac{\sqrt{10}}{3}+\dfrac{\sqrt5}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{13}}{6}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}-\dfrac{\sqrt5}{2}\right)}$
$=\dfrac{\sqrt{14}}{3}$
zodat de gevraagde oppervlakte $\frac{\sqrt{14}}{4}$ is.[/]