magische vierkanten
Opgave - VWO 1998 vraag 3
Een magisch $3\times3$ vierkant is een $3\times3$ matrix die alle getallen van $1$ tot $9$ eenmaal bevat, en waarbij de som van elke rij, kolom of diagonaal gelijk is. Bepaal alle dergelijke magische $3\times3$ vierkanten (op rotatie & spiegeling na).
- login om te reageren
Oplossing
We noemen de elementen $a_{11}, a_{12},....$. Als we alle 4 de buitenkanten optellen, dan bekomen we(met x de som per rij):$$4x= 2(a_{11}+a_{13}+a_{31}+a_{33})+a_{12}+a_{21}+a_{23}+a_{32}$$tellen we alle rijen en kolommen en diagonalen op, dan hebben we:$$8x=4a_{22}+3(a_{11}+a_{31}+a_{13}+a{33})+2(a_{12}+a_{21}+a_{23}+a_{32})$$ combineren we die 2, dan zien we dat :$$a_{22}=\frac{a_{11}+a_{13}+a_{31}+a_{33}}{4}$$.
Verder weten we nog dat als we 3 rijen optellen, we alle getallen hebben en dat de som per rij dus $\frac{45}{3}=15$ is. Wat we ook nog weten, is dat :$$4(x-a_{22})= a_{11}+a_{12}+....+a_{21}+a_{23}+....+a_{33}$$.
$a_{22}$ is daardoor gelijk aan 5. Na ff zoeken zien we dat de enige mogelijke matrix $$8 1 6$$ $$3 5 7$$ $$4 9 2$$
met rotatie en spiegeling niet meegerekend natuurlijk
De som van iedere rij, kolom en diagonaal is gelijk aan $\frac{1+2+3+...+9}{3}=15$.
Indien we $1$ en $2$ op een rijtje hebben, kunnen we nooit aan $15$ geraken met de beschikbare elementen, gezien $1+2+9=12$ en de andere elementen kleiner zijn dan $9$.
Door zo te kijken naar de combinaties vinden we een aantal paren die niet samen mogen staan op één rij, kolom of diagonaal:
$(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)$
Op dezelfde manier kijken we hoe de som steeds te groot zou zijn en vinden we nog enkele onmogelijke koppels:
$(9,8),(9,7),(9,6),(8,7)$
Tot slot vinden we nog enkele dergelijke koppels door te kijken of er bij twee voorkomende getallen hetzelfde getal nodig is om $15$ te verkrijgen (wat niet mag, gezien alles maar 1x voorkomt):
$(1,7),(3,6),(7,4),(9,3)$
Als een getal in het midden voorkomt, staat het met ieder ander getal op eenzelfde rij, kolom of diagonaal, dus enkel $5$ kan in het midden staan.
( sommeer de buitenste 4 lijnen en trek de diagonalen af, om dit elegant op te merken
Als een getal op een hoek voorkomt, staat het met alle getallen behalve $2$ op eenzelfde rij, kolom of diagonaal. $9$ en $1$ kunnen bijgevolg niet op een hoek staan.
We geven het vierkant zonder verlies van algemeenheid weer als:
$\[ \left( \begin{array}{ccc}
? & 1 & ? \\
x_1 & 5 & x_2 \\
x_3 & y & x_4 \end{array} \right)\]$
Er zijn $4$ getallen die niet samen mogen staan met $1$. Deze moeten dus op de $x$'en komen. Gezien er vier plaatsen zijn voor vier getallen, mag er geen enkel ander getal op een $x$ staan. $9$ staat dus op de $y$.
$\[ \left( \begin{array}{ccc}
x_1 & 1 & x_2 \\
x_3 & 5 & x_4 \\
x_5 & 9 & x_6 \end{array} \right)\]$
Gezien $3$ en $7$ noch bij $1$, noch bij $9$ mogen staan, nemen deze $x_3$ en $x_4$ in. Ze mogen momenteel nog omgewisseld worden, want dat zou een gewone spiegeling zijn.
$\[ \left( \begin{array}{ccc}
x_1 & 1 & x_2 \\
3 & 5 & 7 \\
x_5 & 9 & x_6 \end{array} \right)\]$
$7$ en $1$ mogen niet samen staan met $4$, dus geldt $x_5=4$. Analoog vinden we $x_6=2$ en met de somvoorwaarde vinden we eveneens $x_1=8$ en $x_2=6$. Dit is op spiegeling en rotatie na de enige mogelijke oplossing, gezien er steeds maar één waarde mogelijk was voor de vakjes.
$\[ \left( \begin{array}{ccc}
8 & 1 & 6 \\
3 & 5 & 7 \\
4 & 9 & 2 \end{array} \right)\]$