VWO 1995

Vraag 1 Opgelost!

Vier echtparen komen samen om te schaken. Je weet het volgende de volgende pairings:

$$Bea \Longleftrightarrow Eddy$$
$$An \Longleftrightarrow man\ Clara,$$
$$Freddy \Longleftrightarrow vrouw\ Guy,$$
$$Debby \Longleftrightarrow man\ An,$$
$$Guy \Longleftrightarrow vrouw\ Eddy.$$
Met wie is $Hubert$ getrouwd?

Vraag 2 Opgelost!

Hoeveel waarden van $x \in \mathbb{R}$ zijn er, met $x \in [1,3]$, waarvan $x$ hetzelfde gedeelte na de komma heeft als $x^2$?

Vraag 3 Opgelost!

De punten $a,b,c,d$ liggen op een cirkel met straal $R$, zodanig dat $|ab|=|ac|=500$, en zodanig dat de afstanden $|dc|,|da|,|db|$ zich verhouden als $1,5,7$. Vind $R$.

Vraag 4 Opgelost!

(a) Toon aan dat voor alle $n\in\mathbb{N}$ en voor alle $\alpha\in ]0,2\pi[$ geldt: $$\sum^n_{k=0}\sin(k\alpha) = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}}{\sin\frac {\alpha}2}.$$
(b) Zij $G(n)$ de gemiddelde lengte van de diagonalen van een regelmatige $n$-hoek, ingeschreven in de eenheidscirkel. Bereken $\lim_{n\rightarrow +\infty} G(n)$.