decimaal gedeelte

Opgave - VWO 1995 vraag 2

Hoeveel waarden van $x \in \mathbb{R}$ zijn er, met $x \in [1,3]$, waarvan $x$ hetzelfde gedeelte na de komma heeft als $x^2$?

Oplossing

Uit de voorwaarde volgt: $x^2=x+n$, waarbij $n$ een natuurlijk getal is.
Omdat $x \in [1,3] $ , kan $n$ minimaal $0$ en maximaal $6$ zijn.

Want $x^2-x$ is een strikt stijgende continu functie gaande van $0$ naar $6.$

$\Rightarrow$Antwoord op de vraag: $7$

Maar nu ga ik toch nog even de vgl oplossen als controle:

$x^2 - x - n = 0$
$\Rightarrow D=1+4n$

$x = \frac{1 + \sqrt{1+4n}}{ 2}$

$3\ge x \ge 1$ dus:

$5\ge \sqrt{1+4n}\ge 1 \Rightarrow 25\ge 1+4n\ge 1 \Leftrightarrow 6\ge n \ge 0$

Dus $7$ oplossingen, zoals gezegd.

De voorwaarde kan pas voldaan zijn indien
$x^2=x+n$ met $n$ als natuurlijk getal (want zelfde deel achter komma en enkel positieve waarden voor $x$ mogelijk).
--> $n = x^2-x$

Gezien $x \in [1,3]$ is ook n begrensd.
Bij een minimale waarde van x is ook n het kleinst: $x=1$ --> $n=1-1=0$
Bij een maximale waarde van x is ook n het grootst: $x=3$ --> $n=9-3=6$

* Dit omdat $n'=2x-1>0$ in dit interval

We bekijken dus de mogelijkheden voor $n \in [0,6]$
Gezien iedere oplossing te schrijven valt als $x^2-x-n=0$, $D=b^2-4ac$ en a positief en c negatief zijn, betekent dit dat we voor iedere $n$-waarde zeker twee oplossingen zullen hebben zonder rekening te houden met het bereik van $x$. We kijken dus of deze oplossingen ook daadwerkelijk mogelijk zijn:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4n}}{2}$

Dit betekent dat
$1\leq\frac{1\pm\sqrt{1+4n}}{2}\geq3$
$2\leq1\pm\sqrt{1+4n}\geq6$

$0\leq n\geq6$, zoals we eerder al stelden, dus de inhoud van de wortel is steeds positief, wat betekent dat dit al geen waarden uitsluit. Verder zou de ongelijkheid niet kunnen opgaan indien we rekenen volgens $1-\sqrt{1+4n}$ (dat zou een getal lager dan $2$ opleveren), dus er is nog 1 $x$ per $n$ mogelijk.

We voegen de kleinste en grootste mogelijke waarden voor $n$ in in de ongelijkheid:
$1\pm\sqrt{1+4*0}=2$
$1\pm\sqrt{1+4*6}=6$
--> er is 1 $x$-waarde $\forall n \in \mathbb{N} \cap [0,6]$ --> er zijn 7 mogelijke waarden voor $x$