Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › VWO › 1995 › diagonaallengte

diagonaallengte

Tags:

Opgave - VWO 1995 vraag 4

(a) Toon aan dat voor alle $n\in\mathbb{N}$ en voor alle $\alpha\in ]0,2\pi[$ geldt:

$$\sum^n_{k=0}\sin(k\alpha) = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}}{\sin\frac {\alpha}2}.$$

(b) Zij $G(n)$ de gemiddelde lengte van de diagonalen van een regelmatige $n$-hoek, ingeschreven in de eenheidscirkel. Bereken $\lim_{n\rightarrow +\infty} G(n)$.

Oplossing

Ingediend door barto

(a) Voor $n=0$ geldt de gelijkheid duidelijk. (inductiebasis)
Stel dat ze geldt voor $n$:
$\sum^n_{k=0}\sin(k\alpha) = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}}{\sin\frac {\alpha}2}$
Dan is

$\sum^{n+1}_{k=0}\sin(k\alpha) = \frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}}{\sin\frac {\alpha}2}+\sin((n+1)\alpha)=\\\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}+\sin\frac {\alpha}2\sin((n+1)\alpha)}{\sin\frac {\alpha}2}=\\\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin\frac{n\alpha}{2}+2\sin\frac {\alpha}2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac {\alpha}2}=\\\frac{\left(\sin\frac{n\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}\right)\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\\\frac{\left(\sin\frac{n\alpha}{2}+\sin\frac{(n+2)\alpha}{2}+\sin\frac{-n\alpha}{2}\right)\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\\\frac{\sin\frac{(n+2)\alpha}{2}\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac {\alpha}2}$
en dat is de formule voor $n+1$.

Zodoende geldt met volledige inductie dat het geldt voor ieder natuurlijk getal $n.$

(b)
Het volstaat om de gemiddelde lengte van de diagonalen uit 1 punt te berekenen.
Noem het middelpunt $M$ en twee hoekpunten $D_1$ en $D_2$. Nu is $\bigtriangleup MD_1D_2$ gelijkbenig met tophoek, zeg $k \gamma$. Dan is de lengte van de diagonaal $[D_1D_2]$ gelijk aan $2\sin k\frac{\gamma}{2}$. ($k$ natuurlijk getal en als $D_1D_2$ een middellijn is geldt de formule ook) In een $n$-hoek is $\gamma=\frac{360^\circ}{n}$. En er zijn $n-3$ zo'n diagonalen, sommeer ze voor $k$ gaande van $2$ tot $n-2$ omdat er anders geen diagonaal is en deel door $n-3$:
$\frac{\displaystyle\displaystyle\sum_{k=2}^{n-2}2\sin\left(k\frac{180^\circ}{n}\right)}{n-3}=\frac{2}{n-3}\sum_{k=2}^{n-2}\sin\left(k\frac{180^\circ}{n}\right)=\\\frac{2}{n-3}\left(\frac{\sin\frac{(n-1)180^\circ}{2n}\sin\frac{(n-2)180^\circ}{2n}}{\sin\frac {180^\circ}{2n}}-\sin\left(0\frac{180^\circ}{n}\right)-\sin\left(1\frac{180^\circ}{n}\right)\right)=\\\frac{2}{n-3}\frac{\sin\frac{(n-1)90^\circ}{n}\sin\frac{(n-2)90^\circ}{n}-\sin\frac{90^\circ}{n}\sin\frac{180^\circ}{n}}{\sin\frac{90^\circ}{n}}=\\\frac{2}{n-3}\frac{\frac{\cos\frac{90^\circ}{n}-\cos\frac{(2n-3)90^\circ}{n}}{2}-\frac{\cos\frac{-90^\circ}{n}-\cos\frac{270^\circ}{n}}{2}}{\sin\frac{90^\circ}{n}}=\\\frac{\cos\frac{270^\circ}{n}-\cos\frac{(2n-3)90^\circ}{n}}{(n-3)\sin\frac{90^\circ}{n}}=\\\frac{-2\sin90^\circ\sin\frac{(3-n)90^\circ}{n}}{(n-3)\sin\frac{90^\circ}{n}}=\frac{2\sin(90^\circ-\frac{270^\circ}{n})}{(n-3)\sin\frac{90^\circ}{n}}=\frac{2\cos\frac{270^\circ}{n}}{(n-3)\sin\frac{90^\circ}{n}}$
Schrijf alles in radialen, zodat voor kleine waarden gaande naar $0$ geldt dat $sin(x)=x.$
$lim_{n \to \infty} \frac{2\cos\frac{1.5\pi}{n}}{(n-3)\sin\frac{\pi}{2n}}=\frac{2}{(n-3)\frac{\pi}{2n}}=\frac{4}{\pi}.$