VWO 1993

Vraag 1 Opgelost!

De $20$ leerlingen in een klas sturen elk $10$ postkaarten (naar $10$ verschillende klasgenootjes, en niet naar zichzelf).
(a) Toon aan dat 2 mensen een kaart naar elkaar stuurden.
(b) Voor welke koppels getallen $(m,n)$ is dit waar met $n$ leerlingen die elk $m$ kaarten sturen?

Vraag 2 Opgelost!

Een juwelier bedekt 1 diagonaal van een eenheidsvierkant met kleine gouden vierkantjes als volgt:
- de zijden van alle vierkantjes zijn parallel met de zijden van het eenheidsvierkant
- voor ieder buurvierkantje is de zijdelengte de helft of het dubbel van het vierkantje ernaast
- ieder middelpunt van een vierkant heeft afstand tot de hoekpunten van het eenheidsvierkant gelijk aan $\frac12,\frac14,\frac18,...$ van de diagonaallengte van het eenheidsvierkant.
( hierbij komt iedere opgesomde afstand eens voor)
- alle middelpunten van alle vierkanten liggen op die diagonaal.
(a) Wat is de zijdelengte van het middenste vierkant?
(b) Wat is de totale met goud bedekte oppervlakte?

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan dat voor $a,b,c\in\mathbb{R}^+_0$ we hebben:

$$-1 < \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{1993} + \left(\frac{b-c}{b+c}\right)^{1993} + \left(\frac{c-a}{c+a}\right)^{1993} < 1.$$

Vraag 4 Opgelost!

$A_0$ en $B$ zijn 2 loodrechte lijnen die snijden in $o$. $A_n$ is de lijn vanuit $o$ zodat de hoek tussen $A_{n+1}$ en $B$ half zo groot is als de hoek tussen $A_n$ en $B$. Zij $a_0$ een punt op $A_0$ met $|oa_0|=1$ en zij $a_{n+1}$ de orthogonale projectie van $a_n$ op $A_{n+1}$. Vind $\lim_{n\rightarrow +\infty} |oa_n|$.