juwelier

In dit bewijs staat $a_{1/2}$ voor het vierkant met het middelpunt op $1/2$ van de diagonaal en analoog voor andere gevallen. $|a_{1/2}|$ staat voor de helft van zijdelengte van dat vierkant.

Gezien $1/2$ bedekt moet zijn, is er symmetrie in ons probleem, dat we nu dus enkel bekijken voor $[0,1/2[$
Eveneens kunnen we, gezien de vierkanten hoekpunt aan hoekpunt aan mekaar grenzen, het probleem projecteren op een zijde zonder verlies van algemeenheid. Hierdoor kunnen we gemakkelijker werken met lengtes (alles is nu dus gedeeld door $\sqrt{2}$).

We beschouwen nu $a_{1/4}$. Er zijn twee mogelijkheden:
$(1)$ $|a_{1/4}|=2|a_{1/2}|$ met $|a_{1/2}|+|a_{1/4}|=1/4 \Rightarrow |a_{1/2}|=1/12$ en $|a_{1/4}|=1/6$
Een vierkant dat hiernaast zou komen, zou dus een halve zijde van $1/3$ of $1/12$ hebben. Bij $1/3$ zou het vierkant niet meer in het eenheidsvierkant passen en bij $1/12$ zou dit eveneens het geval zijn. $(1)$ is dus geen mogelijkheid.

$(2)$ $|a_{1/2}|=2|a_{1/4}|$ met $|a_{1/2}|+|a_{1/4}|=1/4 \Rightarrow |a_{1/4}|=1/12$ en $|a_{1/2}|=1/6$
In dat geval kan her vierkant ernaast een halve zijde van $1/6$ of $1/24$ hebben. $1/6$ is onmogelijk, want dan zou de volledige zijde $1/3$ zijn en er is nog maar $1/4$ over. Indien we echter $1/24$ nemen, is dat vierkant $a_{1/8}$, wat kan. We hebben nu weer dezelfde situatie als eerder, maar dan verkleind met factor $1/2$. Dit proces zal zich oneindig lang voortzetten, waarbij het volgende vierkant steeds de helft kleiner is en de middelpunten opeenvolgend op $1/2$, $1/4$, $1/8$... liggen, zoals gevraagd.
( merk op dat eenmaal de 3 centrale vierkanten geconstrueerd zijn, de andere lengten gekend uniek bepaald zijn en tgv de symmetrie met factor $0.5$ zal ieder vierkantje dichter van de omtrek van het grote vierkant een lengte gelijk aan de helft hebben)

$(2)$ is dus de enige mogelijkheid.

$(a)$ $=2|a_{1/2}|=2*1/6=1/3$
$(b)$ De oppervlakte van het middelste vierkant is $1/9$. Iedere keer dat we een vierkantje naar buiten toegaan, is de oppervlakte $1/4$ van het vorige vierkant. We hebben dus een meetkundige rij. Alle vierkanten aan op de ene helft, met het middelste erbij, hebben dus een oppervlaktesom van $\frac{1/9}{1-1/4}=4/27$. Gezien er twee helften zijn, doen we maal twee en verkrijgen we $8/27$. Nu hebben we echter twee keer het middelste vierkant meegerekend, dus trekken we dat er nog één keer van af: $8/27-3/27=5/27$.