limiet
Opgave - VWO 1993 vraag 4
$A_0$ en $B$ zijn 2 loodrechte lijnen die snijden in $o$. $A_n$ is de lijn vanuit $o$ zodat de hoek tussen $A_{n+1}$ en $B$ half zo groot is als de hoek tussen $A_n$ en $B$. Zij $a_0$ een punt op $A_0$ met $|oa_0|=1$ en zij $a_{n+1}$ de orthogonale projectie van $a_n$ op $A_{n+1}$. Vind $\lim_{n\rightarrow +\infty} |oa_n|$.
- login om te reageren
Oplossing
We hebben dat $A_{n+1}$ de bissectrice is van $A_n$ en $B$.
De hoek tussen $A_{n+1}$ en $A_n$ is dus $\frac\pi{2^{n+2}}$.
Door in de driehoek $oa_na_{n+1}$ te werken hebben we dat $|oa_{n+1}|=|oa_n|*\cos\left(\frac\pi{2^{n+2}}\right)$.
De gezochte waarde is dus $\prod_{k=2}^\infty\cos\left(\frac\pi{2^k}\right)$.
Merk op dat door $\sin\frac\pi2$ op te splitsen met de halveringsformule we voor elke $n\in\mathbb N$ hebben dat $2^{n-1}\sin\frac\pi{2^n}\prod_{k=2}^{n}\cos\left(\frac\pi{2^k}\right)=1$.
Dan moet ook $\lim_{n\to\infty}\left(2^{n-1}\sin\frac\pi{2^n}\prod_{k=2}^{n}\cos\left(\frac\pi{2^k}\right)\right)=1$.
Voor kleine waarden van $x$ geldt dat $\sin x\to x$, dus $\sin\frac\pi{2^n}\to\frac\pi{2^n}$.
Dus $\lim_{n\to\infty}\left(\frac\pi2\prod_{k=2}^{n}\cos\left(\frac\pi{2^k}\right)\right)=1$ zodat $\prod_{k=2}^{\infty}\cos\left(\frac\pi{2^k}\right)=\frac2\pi$.