Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › België › VWO › 1993 › ongelijkheid

ongelijkheid

Tags:

Opgave - VWO 1993 vraag 3

Toon aan dat voor $a,b,c\in\mathbb{R}^+_0$ we hebben:

$$-1 < \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{1993} + \left(\frac{b-c}{b+c}\right)^{1993} + \left(\frac{c-a}{c+a}\right)^{1993} < 1.$$

Oplossing

Ingediend door barto

Stel $x=\frac{a-b}{a+b}$, $y=\frac{b-c}{b+c}$ en $z=\frac{c-a}{c+a}$.
$x,y,z$ zijn niet geheel onafhankelijk, dus kunnen we $z$ uitdrukken in $x$ en $y$. We vinden dat $z=-\frac{x+y}{1+xy}$.
Merk op dat $x=1-\frac{2b}{a+b}=\frac{2a}{a+b}-1$ dus $-1< x,y,z<1$ want we kunnen hetzelfde doen voor $y$ en $z$.
Te bewijzen is $-1< x^{1993}+y^{1993}+z^{1993}<1$.
Als we alles vermenigvuldigen met $-1$ staat er $-1<(-x)^{1993}+(-y)^{1993}+(-z)^{1993}<1$. We kunnen dus veronderstellen dat $2$ van de $3$ positief zijn, zeg $x$ en $y$. (Zoniet nemen we de equivalente ongelijkheid met $-x,-y,-z$ en dan zijn er wel $2$ positief.)
Te bewijzen is dan $-1< x^{1993}+y^{1993}-\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)^{1993}<1$
of dus $(x+y)^{1993}-(1+xy)^{1993}<(1+xy)^{1993}(x^{1993}+y^{1993})<(1+xy)^{1993}+(x+y)^{1993}$

We bewijzen eerst het rechterdeel:
$(1+xy)^{1993}(x^{1993}+y^{1993})=x^{1993}(1+xy)^{1993}+(y+xy^2)^{1993}$ $<1^{1993}*(1+xy)^{1993}+(y+x*1^2)^{1993}=(1+xy)^{1993}+(x+y)^{1993}$, zoals gewenst.

Nu het linkerdeel:
We hebben dat $(1-x)(1-y)>0$ dus $1+xy> x+y$, dus $(1+xy)^{1993}>(x+y)^{1993}$. Het linkerlid is dus kleiner dan $0$ terwijl het rechterlid groter is dan $0$.

Hiermee is de ongelijkheid aangetoond.

Ingediend door JefL

De ongelijkheid is cyclisch, dus stel $a=max(a,b,c)$. Merk op dat als we $b$ en $c$ van plaats veranderen, dat de uitdrukking van teken verwisseld, maar dan hebben we exact dezelfde voorwaarde. Dus we mogen stellen dat $a\ge b\ge c$. Als minstens twee van de drie termen gelijk zijn, dan wordt de uitdrukking nul, wat voldoet aan de vergelijking. We kunnen dus zeggen dat $a>b>c$. Dit impliceert dat
$0< \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{1993} < 1$
$0< \left(\frac{b-c}{b+c}\right)^{1993} < 1$
$-1< \left(\frac{c-a}{a+c}\right)^{1993} < 0$

Stel nu dat $\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{1993}+\left(\frac{c-a}{a+c}\right)^{1993}\ge 0$ Verder uitwerken levert $((a-b)(a+c))^{1993}\ge -((c-a)(a+b))^{1993}$
$\Leftrightarrow (a-b)(a+c)\ge -(c-a)(a+b)$
$\Leftrightarrow 2ab-2ac=2a(b-c)\le 0$ maar $b> c$ dus contradictie.
Dit betekent dat $-1<\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{1993}+\left(\frac{c-a}{a+c}\right)^{1993}< 0$ en dus uiteindelijk
$-1< \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^{1993}+\left(\frac{b-c}{b+c}\right)^{1993} +\left(\frac{c-a}{a+c}\right)^{1993}< 1$
$\blacksquare$

-_-