VWO 1992

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal voor elk natuurlijk getal $n$ het grootste natuurlijk getal k zodat $2^k|3^n+1$.

Vraag 2 Opgelost!

Vijf gangsters zijn op een vergadering aanwezig en vertrekken een voor een. De politie wacht buiten en weet enkel dat ze de leider moeten schaduwen, en dat die de grootste van de vijf is. Ze hebben alle verschillende groottes. Als de politie besluit de eerste twee te laten gaan, en vervolgens de eerste te volgen die groter is dan de voorgaande, hoeveel kans is er dat ze de juiste schaduwen? (ze kunnen maar een iemand schaduwen)

Vraag 3

Een bol is ingeschreven in een kegel met apothema $A$ (raakt mantel in cirkel en grondvlak in 1 punt). De raakcirkel van de bol en de kegel is de rand van het bovenvlak van een cilinder die ingeschreven is in de bol. De totale oppervlakte van kegelmantel + kegelgrondvlak is $9$ keer de opervlakte van een grote cirkel(-schijf) van de bol. Het apothema van de kegel is groter dan de halve omtrek van het grondvlak van de kegel. Bereken de hoogte van de cilinder in functie van het apothema.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $A,B,P\in\mathbb{R}^+_0$ met $P\le A+B$.
(a) Kies reële getallen $\theta_1,\theta_2$ met $A\cos\theta_1+B\cos\theta_2=P$ en bewijs dat $$A\sin\theta_1+B\sin\theta_2\le \sqrt{(A+B-P)(A+B+P)}.$$

(b) Bewijs dat gelijkheid optreedt als $\theta_1=\theta_2=\arccos\left(\frac{P}{A+B}\right)$.

(c) Neem $A=\frac12xy, B=\frac12wz, P=\frac14 \left(x^2+y^2-z^2-w^2\right)$ met $0 < x\le y\le x+z+w$, $z,w > 0$ en $z^2+w^2 < x^2+y^2$.
Toon aan dat uit (a) en (b) volgt dat van alle vierhoeken met zijdelengtes $(x,y,z,w)$, in die volgorde, de koordenvierhoek de grootste oppervlakte heeft.