gangsters

Opgave - VWO 1992 vraag 2

Vijf gangsters zijn op een vergadering aanwezig en vertrekken een voor een. De politie wacht buiten en weet enkel dat ze de leider moeten schaduwen, en dat die de grootste van de vijf is. Ze hebben alle verschillende groottes. Als de politie besluit de eerste twee te laten gaan, en vervolgens de eerste te volgen die groter is dan de voorgaande, hoeveel kans is er dat ze de juiste schaduwen? (ze kunnen maar een iemand schaduwen)

Oplossing

Zij 12345 de gangsters in oplopende grootte. We kunnen vijf situaties met gelijke kans (1/5) onderscheiden: de leider kan als eerste, tweede, derde, vierde of vijfde buitenkomen.
De bijhorende kansen:
Als de leider als eerste buitenkomt:
0 (ze laten hem gaan)
Als de leider als tweede buitenkomt:
0 (ze laten hem gaan)
Als de leider als derde buitenkomt:
1 (hij is sowieso groter dan de 2 vorige)
Als de leider als vierde buitenkomt:
De leider wordt geschaduwd als en slechts als de derde niet groter is dan zowel de eerste als tweede die naar buiten kwam, dit gebeurt met kans $ \frac 23$.
( bij $8$ van de $24$ gevallen, volgden ze derde persoon, die gevallen zijn $123, 124, 213, 214, 134, 314, 234$ en $ 324$)
2/3
Als de leider als vijfde buitenkomt:
enkel en alleen als nummer 4 als eerste of tweede is buitengekomen (anders zouden ze 4 geschaduwd hebben), dit is het geval in 12 vd 24 gevallen. De kans is dan 1/2

We krijgen dan 1/5 * 1 + 1/5 * 2/3 + 1/5 * 1/2 = 13/30