meetkundige ongelijkheid

Opgave - VWO 1992 vraag 4

Zij $A,B,P\in\mathbb{R}^+_0$ met $P\le A+B$.
(a) Kies reële getallen $\theta_1,\theta_2$ met $A\cos\theta_1+B\cos\theta_2=P$ en bewijs dat $$A\sin\theta_1+B\sin\theta_2\le \sqrt{(A+B-P)(A+B+P)}.$$

(b) Bewijs dat gelijkheid optreedt als $\theta_1=\theta_2=\arccos\left(\frac{P}{A+B}\right)$.

(c) Neem $A=\frac12xy, B=\frac12wz, P=\frac14 \left(x^2+y^2-z^2-w^2\right)$ met $0 < x\le y\le x+z+w$, $z,w > 0$ en $z^2+w^2 < x^2+y^2$.
Toon aan dat uit (a) en (b) volgt dat van alle vierhoeken met zijdelengtes $(x,y,z,w)$, in die volgorde, de koordenvierhoek de grootste oppervlakte heeft.

Oplossing

Neem zonder verlies van algemeenheid $\theta_1,\theta_2\in[0,\pi[$
$(a)$
Alles kwadrateren, $P$ vervangen door $A\cos\theta_1+B\cos\theta_2$ geeft
$A^2\sin^2\theta_1+B^2\sin^2\theta_2+2AB\sin\theta_1\sin\theta_2\leq A^2+B^2+2AB-A^2\cos^2\theta_1$$-B^2\cos^2\theta_2-2AB\cos\theta_1\cos\theta_2$.
$A^2\sin^2\theta_1+A^2\cos^2\theta_1=A^2$ en zo ook voor de andere hoek, dus hebben we na vereenvoudigen en delen door $2AB$:
$\sin\theta_1\sin\theta_2+\cos\theta_1\cos\theta_2\leq1$ maar dat is gewoon $\cos(\theta_1-\theta_2)$ wat kleiner is of gelijk aan $1$.

$(b)$
$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$, dus dat invullen geeft $A\sin\theta_1+B\sin\theta_2=(A+B)\sqrt{1-\frac{P^2}{(A+B)^2}}=\sqrt{(A+B)^2-P^2}$ $=\sqrt{(A+B+P)(A+B-P)}$ dus er is gelijkheid.

$(c)$
Stel $\theta_1$ de hoek tussen de zijden met lengte $x$ en $y$, dan is $x^2+y^2-2xy\cos\theta_1=z^2+w^2+2zw\cos\theta_2$ met $\pi-\theta_2$ de hoek tussen $w$ en $z$ (Dit is gewoon twee keer de cosinusregel toegepast op een diagonaal in de vierhoek.)
Hieruit volgt na omvormen dat $\frac12xy\cos\theta_1+\frac12wz\cos\theta_2=\frac14 (x^2+y^2-z^2-w^2)$, dus $A\cos\theta_1+B\cos\theta_2=P$.
De oppervlakte van de vierhoek is de som van de oppervlaktes van de twee driehoeken die gevormd worden door die diagonaal van daarnet. Hun oppervlaktes zijn $\frac12xy\sin\theta_1=A\sin\theta_1$ en $\frac12wz\sin(\pi-\theta_2)=B\sin\theta_2$.
De som ervan $A\sin\theta_1+B\sin\theta_2$ is wegens (a) en (b) maximaal als $\theta_1=\theta_2$, dus als de hoeken tussen $x,y$ en $w,z$ samen $\pi$ zijn. Dus als de vierhoek een koordenvierhoek is.