VWO 1990

Vraag 1 Opgelost!

Beschouw de eenheidscirkel en de 4 cirkels met straal 1 door de punten $[0,1],[1,0],[0,-1],[-1,0]$. Vier lijnstukjes worden getrokken tussen de snijpunten zoals op de figuur. Vind de oppervlakte van het bestippelde stuk op de figuur.

Vraag 2 Opgelost!

Als $a > b$ twee priemgetallen zijn met minstens $2$ cijfers, bewijs dan dat $240 | (a^4-b^4)$, en dat $240$ de grootst mogelijke waarde hiervoor is.

Vraag 3 Opgelost!

Men vormt een code $N$ van 21 cijfers. $N$ mag beginnen met 0. Bepaal de kans dat de rij cijfers $0123456789$ voorkomt in $N$.

Vraag 4 Opgelost!

Zij $f \mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ een strikt dalende functie.

(a) Zij ($a_n$) een rij strikt positieve reële getallen zodat $\forall k \in \mathbb{N}_0$:
$k\cdot f(a_k)\geq (k+1)\cdot f(a_{k+1})$
Bewijs dat ($a_n$) stijgend is, dat $\lim_{k\rightarrow +\infty} f(a_k)=0 $ en dat $\lim_{k\rightarrow +\infty} a_k = +\infty$.

(b) Bewijs dat er een rij ($a_n$) bestaat in $\mathbb{R}^+_0$ die voldoet aan (a) als je weet dat $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$.