deelbaar

Een priemgetal van twee cijfers is steeds oneven.
Het is dus van de vorm $2n+1$.

Merk op dat $(2n+1)^4 \equiv 8n^2+8n+1 \pmod{16}$
Nu onderscheiden we $2$ gevallen:
$n=2k+1$:
$8n^2+8n+1 \equiv 8 + 8 + 1 \equiv 1 \pmod{16}$

$n=2k$:
$8n^2+8n+1 \equiv 1 \pmod{16}$

We kunnen dus stellen dat de vierdemacht van elk priemgetal van tenminste twee cijfers congruent is met $1$ in modulo $16$.

Bijgevolg zal het verschil $a^4-b^4$ steeds deelbaar zijn door $16$. (1)

Een priemgetal van tenminste twee cijfers is steeds congruent met $1$ of $2$ in modulo $3$.
We kijken wat er gebeurt met de vierdemachten:
$(3n+1)^4 \equiv 1 \pmod 3$
$(3n+2)^4 \equiv 1 \pmod 3$

Dus steeds zal het verschil $a^4-b^4$ deelbaar zijn door $3$. (2)

Een priemgetal van tenminste $2$ cijfers zal congruent zijn met $1,2,3$ of $4$ in modulo $5$. We bekijken van elk geval de vierdemachten:

$(5n+1)^4 \equiv 1 \pmod 5$
$(5n+2)^4 \equiv 1 \pmod 5$
$(5n+3)^4 \equiv 1 \pmod 5$
$(5n+4)^4 \equiv 1 \pmod 5$

Telkens zal het verschil $a^4-b^4$ dus deelbaar zijn door $5$. (3)

Voegen we (1), (2) en (3) samen: $2^4.3.5 = 240$ deelt $(a^4-b^4)$.

Wanneer we volgende voorbeelden beschouwen:

$$13^4-11^4=(13-11)(13+11)(121+169)=240.2.29$$
$$19^4-17^4=(19-17)(19+17)(361+289)=240.5.13$$

Zien we dat de ggd van deze twee getallen gelijk is aan $240$. Bijgevolg is $240$ het grootst mogelijke getal.