functievergelijking
Opgave - VWO 1990 vraag 4
Zij $f \mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ een strikt dalende functie.
(a) Zij ($a_n$) een rij strikt positieve reële getallen zodat $\forall k \in \mathbb{N}_0$:
$k\cdot f(a_k)\geq (k+1)\cdot f(a_{k+1})$
Bewijs dat ($a_n$) stijgend is, dat $\lim_{k\rightarrow +\infty} f(a_k)=0 $ en dat $\lim_{k\rightarrow +\infty} a_k = +\infty$.
(b) Bewijs dat er een rij ($a_n$) bestaat in $\mathbb{R}^+_0$ die voldoet aan (a) als je weet dat $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=0$.
- login om te reageren
Oplossing
(a)
- Stel $x_1 < x_2$, dan is $f(x_1) > f(x_2)$ ($f$ is strikt dalend)
$k \cdot f(a_k) \ge (k+1) \cdot f(a_{k+1}) \Rightarrow f(a_k) \ge \frac {k+1}{k} \cdot f(a_{k+1}) > f(a_{k+1})$
$(k\in\mathbb{N}_0 \Rightarrow \frac {k+1}{k} > 1)$
Omdat $f(a_k) > f(a_{k+1})$, is dus $a_k < a_{k+1} \Rightarrow a_n$ is stijgend.
- $1 \cdot f(a_1) \ge 2 \cdot f(a_2) \ge 3 \cdot f(a_3) \ge ... \ge k \cdot f(a_k) \ge (k+1) \cdot f(a_{k+1})$
$\Rightarrow f(a_k) \le \frac {f(a_1)}{k}
\Rightarrow \lim_{k \to +\infty} f(a_k) = \lim_{k \to +\infty} \frac {f(a_1)}{k} = 0$
- Omdat $f$ $ \mathbb{R}_0^+$ afbeeldt op $ \mathbb{R}_0^+$, en $f$ stikt dalend is, moet dus voor $f(x)$ de limietwaarde van $x$ naar $+\infty$ $ 0$ zijn. Daaruit volgt, dat als het beeld van $f$ nadert naar $0$, nadert $x$ naar $+\infty$.
Dus, omdat $\lim_{k \to +\infty} f(a_k) = 0$, is $\lim_{k \to +\infty} a_k = +\infty$.
(b)
Stel $f^-$ de inverse relatie van $f$. Omdat $f$ strikt dalend is, is $f$ een bijectie en is dus de inverse relatie $f^-$ een functie, namelijk de inverse functie van $f$. $f^-$ is dan strikt dalend.
Voor $f^-$ geldt ook: $f^- \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+$, en als $f \rightarrow 0 \Rightarrow f^- \rightarrow +\infty$.
We vertrekken van een bepaalde waarde $f(a_1) > 0$ zodat $f^-(f(a_1))=a_1 \in\mathbb{N}_0$.
Voor deze waarde $f(a_1)$ gaan we een $f(a_2)$ kunnen vinden zodat $f^-(f(a_2))=a_2\in\mathbb{N}_0$ en $f(a_2) \le \frac {f(a_1)}{2}$.
Omdat $f(a_2) \le f(a_1)$, gaat $f^-(f(a_2)) \ge f^-(f(a_1)) \Rightarrow a_2 \ge a_1$.
We zoeken dan een $f(a_3)$ zodat $f(a_3) \le \frac {2 \cdot f(a_2)}{3}$, waarvoor het beeld $a_3$ opnieuw groter is dan $a_2$.
We doen zo steeds verder, zodat telkens $f(a_{k+1}) \le \frac {k}{k+1} \cdot f(a_{k})$ en $f^-(f(a_k))=a_k\in\mathbb{N}_0$. We krijgen dan ook een $f^-(f(a_{k+1}))=a_{k+1}$ die groter is dan $f^-(f(a_k))=a_k$.
We zien dus dat we telkens een $a_{k+1}$ kunnen vinden voor een bepaalde $a_k$. Omdat $a_n$ stijgend is gaat deze $a_{k+1}$ ook altijd natuurlijk kunnen zijn omdat en er altijd een grotere term kan worden gevonden die natuurlijk is.
Zo'n rij is dus perfect mogelijk voor iedere functie die voldoet.