Vojtech Jarnik Olympiad 2006

Dag 1

Vraag 1

Gegeven zijn reële getallen $0=x_1 < x_2 \cdots x_{2n}$<$ x_{2n+1}=1$ zo dat $x_{i+1}-x_i < h$ voor iedere $1 < i < 2n$.
Bewijs dat $\frac{1-h}{2} < \sum_{i=1}^n x_{2i} ( x_{2i+1}-x_{2i-1} ) <\frac{1+h}{2}$.

Vraag 2

Veronderstel dat $(a_n)$ een convergente reele rij is zodat ook $\sum_{i=1}^{n} \frac{a_n}{n}$ convergent is.

Bewijs dat de rij $b_n= \frac{ \sum_1^n a_i }{n}$ convergent is en vind de limiet.

Vraag 3

Voor een functie $f^[0,1] \to \mathbb R$ is de raaklijn tussen $a$ en $b$ de verbindingslijn van de punten $(a,f(a))$ en $(b,f(b))$.
Een functie noemt men snijdend met de raaklijn tussen $a$ en $b$ als die ook een punt $(c,f(f))$ bevat.

$(a)$
Vind de verzameling van alle continu, snijdende functies over $[0,1]$.
( dit betekent dat voor iedere $a,b$ de raaklijn tussen $a$ en $b$ een andere punt bevat (en bijgevolg oneindig veel) )

$(b)$
Bestaat er een continu functie die niet voorkwam in deel $(a)$ die snijdend is voor alle rationale $a,b \in [0,1]$?

Vraag 3

Two players play the following game:
Let $n$ be a fixed integer greater than $1$.
Starting from number $k=2$, each player has two possible moves:
either replace the number $k$ by $k+1$ or by $2k$.
The player who is forced to write a number greater than $n$ loses the game.
Which player has a winning strategy for which $n$?

Vraag 4

We hebben een $n \cdot n$matrix met nietnegatieve waarden , zodat geldt dat de som van alle elementen in de matrix gelijk is aan $n$.
$(a)$
Bewijs dat $|det A| \le 1$
$(b)$
Bewijs dat als $|det A|=1$ en $\lambda$ een complexe eigenwaarde is van $A$, er geldt dat $|\lambda|=1$ .

Dag 2

Vraag 1

A
Zij $u,v$ $2$ nilpotente elementen in een commutatieve ring.
Bewijs dat $u+v$ ook nilpotent is.
B
Bewijs dat $A$ niet waar is in een niet-commutatieve ring.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $ (G,*) $ een eindige groep van orde $n.$
Bewijs dat ieder element van $G$ een kwadraat is asa $n$ oneven is.

Vraag 4

Zij $f$ een functie van $\mathbb R^+$ naar $\mathbb R$ zodat $lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = + \infty $.
Bewijs dat de integraal $\int_0^{\infty} sin( f(x)) dx$ absoluut divergeert en relatief convergeert.