NCUMC 2014

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Kan men reele functies $f,g \in C^1(-1,1)$ vinden zo dat
$\begin{vmatrix}
\int_{-1}^{1} f^2 dx & \int_{-1}^{1} gf dx \\
\int_{-1}^{1} fg dx & \int_{-1}^{1} g^2 dx
\end{vmatrix} \not = 0$ en $\begin{vmatrix}
f&g \\
f'&g'
\end{vmatrix} \equiv 0$

Vraag 2 Opgelost!

De rijen $\{a_n\}, \{b_n\}$ zijn niet convergent, maar de rijen $\{a_n+b_n\}$ en $\{a_nb_n\}$ wel.
Bewijs dat de rijen $\{a_n\}, \{b_n\}$ gelijke accumulatiepunten hebben en dit er $2$ zijn.
( punten die in elke buurt ervan oneindig veel punten bevat )

Vraag 3

Gegeven natuurlijke $n,m$ .
Beschouw alle $n*m$ $A$ matrices zonder nullen als element en met rang $\le 2$.
We bekijken voor iedere $A$ de matrix $B$ gevormd door het teken van ieder element.
( $B_{ij}=+1$ als $A_{ij}>0$ en omgekeerd).
Bewijs dat er niet meer dan $(m+n)^{m+n}$ mogelijkheden zijn voor de matrix $B$.

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle functies van $]0, \infty[ \to ]0, \infty[$ zodat $\forall x,y,z \in ]0, \infty[ $ waarvoor geldt dat $xyz=1$, ook steeds geldt dat
$$ \frac{1}{x+f(y)+1}+\frac{1}{y+f(z)+1}+\frac{1}{z+f(x)+1}=1$$

Vraag 5 Opgelost!

Gegeven een natuurlijk getal $n$ .
De veelterm $f$ is van graad $2n-1$ en voldoet aan :
$f-f^2$ is deelbaar door $x^n (1-x)^n$.
Vind alle mogelijke leidende coëfficiënten van $f$.

Vraag 6 Opgelost!

Bewijs dat er een natuurlijk getal $r$ bestaat zodat de eerste $100$ cijfers van het getal $e^r$ gelijk zijn aan de eerste $100$ cijfers van $\pi$.

Vraag 7

Zij $q$ een continu, langs onder begrensde functie zodat $lim_{x \to \infty} \int_{x}^{x + \epsilon} q(x) dx = + \infty$ $\forall \epsilon >0$.
Bewijs dat voor alle constanten $\lambda$ iedere niet-triviale oplossing voor de differentiaalvergelijking $y"+ [ \lambda -q(x) ] y=0$ een eindig aantal wortels heeft in $[0, + \infty[$.