gelijke cijfers

Aangezien $\pi$ irrationaal is, zijn er oneindig veel decimalen die niet $9$ zijn. Neem een voldoende grote $p\in\mathbb N$ waarvoor het $p$-de decimaal na de komma niet $9$ is, met $p>102$. Het volstaat nu dat er natuurlijke getallen $r,m$ bestaan met $10^m\pi\leq e^r<10^m(\pi+10^{-p})$ en $m\ge 101$. Dit betekent immers dat de decimale voorstelling van $e^r$ overeenkomt met die van $10^m\pi$, tot en met het $100$-ste cijfer na de komma. De tweede ongelijkheid maakt dat de decimalen ten vroegste verschillen vanaf het honderdste cijfer na de komma, aangezien $p$ zo werd gekozen dat het optellen van iets kleiner dan $10^{-p}$ de eerste $100$ cijfers na de komma onmogelijk kan wijzigen. (In het slechtste geval verhoogt het eerste decimaal voorbij het $100$-ste dat niet $9$ is met $1$.)

We zullen oneindig veel zulke $m$ vinden, en dus zeker een $m$ die groot genoeg is.
Aan de ongelijkheden is voldaan zodra $\log\pi\le r\log e-m<\log(\pi+10^{-p})$. Uit het transcendent zijn van $e$ volgt dat $\log e$ irrationaal is: zoniet zou $e=10^{\frac ab}$ een nulpunt zijn van de veelterm $x^b-10^a$.
Algemeen geldt het volgende:
Eigenschap. Als $\alpha>0$ irrationaal is, dan is de verzameling van fractionele delen $\{r\alpha\}$ met $r\in\mathbb N$ dicht in $[0,1]$.
Bewijs. Zij $x\in[0,1]$, $\epsilon>0$ en kies $n\in\mathbb N$ groot genoeg zodat $n>\frac1\epsilon$. Bekijk de fractionele delen van $0,\alpha,2\alpha,\ldots,n\alpha$. Wegens het duivenhokprincipe zijn er $a\neq b$ waarvoor $0<\{a\alpha\}-\{b\alpha\}=\{(a-b)\alpha\}\leq\frac1n<\epsilon$. Indien $a< b$ kunnen we een geschikte $k\in\mathbb N$ vinden waarvoor $\{k|a-b|\alpha\}<\epsilon$, want bij het verhogen van $k$ verlaagt deze waarde met $\{|a-b|\alpha\}$ wat strikt kleiner dan $\epsilon$ is. In elk geval hebben we dus een $q\in\mathbb N$ met $0<\{q\alpha\}<\epsilon$. Door $q$ te vermenigvuldigen met een geschikt natuurlijk getal vinden we $r\in\mathbb N$ waarvoor $x-\epsilon<\{r\alpha\}< x+\epsilon$. Omdat $\epsilon$ willekeurig mocht zijn volgt het gestelde. $\square$

Passen we dit toe op $\log e$, dan vinden we $r,m \in\mathbb N$ willekeurig groot met $r\log e-m$ willekeurig dicht bij $\frac12(\{\log\pi\}+\{\log(\pi+10^{-p})\})$.