accumulatiepunten

Lemma. $a_n$ en $b_n$ zijn begrensd.
Bewijs. Aangezien $a_n+b_n$ convergeert is $|a_n+b_n|< M\in\mathbb R$. Indien $|a_m|> R\in\mathbb R$ voor zekere $m$ is dus $|b_m|\geq|a_m|-|a_m+b_m|>R-M>\frac R2$ indien $R$ goot genoeg is. Als $a_n$ onbegrensd was zou dus voor elke $R>0$ (voldoende groot) een $m$ te vinden zijn met $|a_mb_m|>\frac{R^2}2$, in strijd met de convergentie van $a_nb_n$. Analoog is $b_n$ begrensd. $\square$

Stel nu $a_n+b_n\to S$ en $a_nb_n\to P$.

De ophopingspunten van $a_n$ en $b_n$ zijn juist de limieten van convergente deelrijen van $a_n$ en $b_n$. Uit de convergentie van $a_n+b_n$ volgt dat een deelrij $a_{n_k}\to A$ convergeert als en slechts als $b_{n_k}\to S-A$ convergeert. Bovendien hebben we: als $a_{n_k}\to A\neq0$ dan $b_{n_k}\to\frac PA$.
We bewijzen nu dat er steeds twee ophopingspunten zijn. Omdat $a_n$ en $b_n$ begrensd zijn is er zeker minstens één $a_{n_k}\to A$ (Bolzano-Weierstrass). Aangezien $a_n$ niet convergeert is er een $\epsilon>0$ zodat $a_n$ een deelrij heeft die buiten $[A-\epsilon,A+\epsilon]$ ligt. Ook deze deelrij heeft een convergente deelrij die convergeert naar iets dat niet $A$ kan zijn. In elk geval vinden we dus twee ophopingspunten, zowel voor $a_n$ als $b_n$.

We onderscheiden de volgende gevallen:

1. $a_n$ heeft een deelrij $a_{n_k}\to0$. Dan is $P=0$ (want $b_n$ is begrensd). Als een andere deelrij $a_{n_l}\to A\neq0$, dan is $S-A=\frac PA=0$, en dus $A=S$. Dit betekent dat er precies twee ophopingspunten zijn van $a_n$, namelijk $S$ en $0$. Blijkbaar heeft $b_n$ dan dezelfde ophopingspunten: $S-S=0$ en $S-0=S$.
2. $a_n$ heeft geen deelrij met limiet $0$. Elk ophopingspunt $A\neq0$ van $a_n$ voldoet dan aan $S-A=\frac PA$ of dus $A^2-SA+P=0$. Er zijn dus twee mogelijke limietwaarden met som $S$, zodat twee convergente deelrijen van $b_n$ dezelfde limieten $A$ en $S-A$ hebben. Aangezien $a_{n_k}$ convergeert als en slechts als $b_{n_k}$ convergeert heeft ook $b_n$ hoogstens (en dus exact) twee ophopingspunten.